[論文レビュー] State estimation under non-Gaussian Levy noise: A modified Kalman filtering method

Xu Sun, Jinqiao Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2013

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限分散を持つ非ガウス型 Lévy ノイズを伴う線形システムに対して、従来のカルマンフィルタを不適切にするノイズに対処する修正カルマンフィルタを提案する。この手法は観測値にクリッピング処理を適用し、計算コストを抑えつつ、重たい尾を持つノイズ下でも状態推定の精度を著しく向上させる修正ゲイン計算を用いる。

ABSTRACT

The Kalman filter is extensively used for state estimation for linear systems under Gaussian noise. When non-Gaussian Lévy noise is present, the conventional Kalman filter may fail to be effective due to the fact that the non-Gaussian Lévy noise may have infinite variance. A modified Kalman filter for linear systems with non-Gaussian Lévy noise is devised. It works effectively with reasonable computational cost. Simulation results are presented to illustrate this non-Gaussian filtering method.

研究の動機と目的

• 無限分散を有する非ガウス型 Lévy ノイズによって損なわれる従来のカルマンフィルタの限界を解消すること。
• 標準カルマンフィルタと同等の計算効率を維持しながら、重たい尾を持つ測定ノイズ下でも有効なフィルタリング手法を開発すること。
• 測定誤差が対称 α-安定 Lévy 分布に従うシステムにおける、実用的でリアルタイム適用可能な状態推定ソリューションを提供すること。
• 混合ガウス分布と Lévy ノイズを含む現実的な条件下でのシミュレーションを通じて、提案手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 無限分散 Lévy ノイズによって引き起こされる極端な値を抑えるために、観測ベクトルにクリッピング処理を導入する。
• 標準の測定ノイズ共分散を、クリッピングされた残差に基づく経験的推定値に置き換えることで、カルマンゲインの計算を修正する。
• クリッピング後の観測値と予測測定値の残差を用いて、修正された測定ノイズ共分散行列 $\tilde{\tilde{\mathbf{R}}}_k$ を計算する。
• 非ガウス型ノイズの影響を反映させるために、修正カルマンゲインを $\mathbf{K}_k = \bar{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^T (2 \cdot \mathbf{H}_k \bar{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^T + \tilde{\tilde{\mathbf{R}}}_k)^{-1}$ として導出する。
• 計算オーバーヘッドを最小限に抑えるために、標準の時間更新および測定更新構造を保持する。
• 修正ゲインとクリッピング済み観測値を用いて、逐次的に事前および事後状態推定値を更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定ノイズが無限分散を有する非ガウス型 Lévy 分布に従う線形システムにおいて、状態推定を効果的に行う修正カルマンフィルタを設計可能か？
• RQ2 提案手法は、標準カルマンフィルタと同等の計算効率を維持しながら、重たい尾を持つノイズ下でも推定精度を向上させられるか？
• RQ3 クリッピングしきい値 $C$ の選定に伴う、修正フィルタの性能への感度はいかがなが？
• RQ4 測定ノイズに対称 α-安定 Lévy 成分が含まれる状況において、修正フィルタは従来のカルマンフィルタを上回る推定誤差を示せるか？

主な発見

• 無限分散 Lévy ノイズが存在する状況において、修正カルマンフィルタは従来のカルマンフィルタに比べて位置推定誤差を顕著に低減する。
• 10,000回のモンテカルロ試行における平均推定誤差の著しい低減が、シミュレーション結果から明らかになった。
• クリッピング処理のしきい値 $C$ は、性能にあまり敏感ではなく、$C = 30$ から $100$ の広い範囲で安定した性能を示すため、パrameter選択に対して頑健である。
• クリッピング処理および $\tilde{\tilde{\mathbf{R}}}_k$ の外積計算によるわずかな計算コストの増加のため、修正フィルタの計算コストは標準カルマンフィルタに比べてやや高いが、リアルタイム応用に適している。
• ノイズがガウス分布と対称 α-安定 Lévy 分布の混合である場合に、ジャンプ成分の影響を抑えることで、完全なジャンプ成分の知識がなくても効果的に処理できる。
• 測定ノイズが無限分散を有する場合でも、古典的カルマンフィルタフレームワークが破綻する中で、提案手法は安定性と精度を維持する。