[論文レビュー] Stationary and discontinuous weak solutions of the Navier-Stokes equations

Alexey Cheskidov, Xiaoyutao Luo|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、特別に設計された定常的な構成要素を用いた新しい凸統合スキームを用いて、3次元ナビエ＝ストークス方程式に対する非自明な有限エネルギー周期的定常弱解の存在を確立している。さらに、正のLebesgue測度を持つ稠密な集合でエネルギー分布が不連続である弱解の存在を示している。

ABSTRACT

We prove that there exists a nontrivial finite energy periodic stationary weak solution to the 3D Navier-Stokes equations (NSE). The construction relies on a convex integration scheme utilizing new stationary building blocks designed specifically for the NSE. The constructed family of approximate stationary solutions is also used to prove the existence of weak solutions of the NSE with energy profiles discontinuous on a dense set of positive Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式に対する非自明な有限エネルギー周期的定常弱解の存在を示すこと。
• ナビエ＝ストークス方程式に特化した新しい構成要素を用いて、定常解に特化した凸統合フレームワークを構築すること。
• 構築した近似解を拡張し、正のLebesgue測度を持つ稠密な集合でエネルギー分布が不連続である弱解の存在を示すこと。
• 3次元流体力学における弱解の正則性および構造に関する長年の未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式を近似的に満たすように設計された新しい定常的構成要素を活用し、定常解に適応した凸統合スキームを採用する。
• エネルギー空間において弱解に収束する近似定常解の族を構築する。
• 構成要素の定常性を活かして、得られる解が周期的境界条件および有限エネルギーを維持することを保証する。
• 近似解を用いて、時間領域において正のLebesgue測度を持つ稠密な集合でエネルギー分布が不連続である弱解を生成する。
• 発散なし条件を保持し、ナビエ＝ストークス方程式の非線形構造を尊重する。
• エネルギー分布の不連続性の測度論的性質を活用して、それが時間領域において広く存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、非自明な有限エネルギー周期的定常弱解は存在可能か？
• RQ2 凸統合を、特別に設計された構成要素を用いて定常解を構築するように適合可能か？
• RQ3 エネルギー分布が正のLebesgue測度を持つ稠密な集合で不連続である弱解は存在するか？
• RQ4 凸統合によってエネルギーの不連続性を強制した場合、弱解にどのような構造的性質が現れるか？

主な発見

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、非自明な有限エネルギー周期的定常弱解が存在する。
• この解は、ナビエ＝ストークス方程式に特化した新しい定常的構成要素を用いた凸統合スキームによって構築されている。
• 近似定常解の族により、正のLebesgue測度を持つ稠密な集合でエネルギー分布が不連続である弱解の構築が可能である。
• エネルギー分布の不連続性が正のLebesgue測度を持つ集合で発生することが示され、エネルギーの時間的変化における正則性の欠如が示された。
• 発散なし条件および有限エネルギーが保持され、構築された解の物理的整合性が保証されている。
• 結果として、極めて不規則なエネルギー挙動を示す弱解の存在が示され、古典的な正則性の期待に挑戦するものとなった。