[論文レビュー] Stationary processes with pure point diffraction

Daniel Lenz, Robert V. Moody|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトアーベル群上のエルゴディック空間定常過程を、数学的散乱理論における回折および逆問題を研究するための一般枠組みとして導入する。純点散乱測度をもつすべての定常過程の完全分類を、関係子の双対群を用いて行い、純点散乱における同素体問題を解き、固有関数およびバナッハ代数構成を介して純点散乱とほぼ周期性を結びつける。

ABSTRACT

We consider the construction and classification of some new mathematical objects, called ergodic spatial stationary processes, on locally compact Abelian groups, which provide a natural and very general setting for studying diffraction and the famous inverse problems associated with it. In particular we can construct complete families of solutions to the inverse problem from any given pure point measure that is chosen to be the diffraction. In this case these processes can be classified by the dual of the group of relators based on the set of Bragg peaks, and this gives a solution to the homometry problem for pure point diffraction. An ergodic spatial stationary process consists of a measure theoretical dynamical system and a mapping linking it with the ambient space in which diffracting density is supposed to exist. After introducing these processes we study their general properties and link pure point diffraction to almost periodicity. Given a pure point measure we show how to construct from it and a given set of phases a corresponding ergodic spatial stationary process. In fact we do this in two separate ways, each of which sheds its own light on the nature of the problem. The first construction can be seen as an elaboration of the Halmos--von Neumann theorem, lifted from the domain of dynamical systems to that of stationary processes. The second is a Gelfand construction obtained by defining a suitable Banach algebra out of the putative eigenfunctions of the desired dynamics.

研究の動機と目的

• 統一的な設定で散乱および逆問題を研究するための一般的数学的枠組みを構築すること。
• 与えられた純点散乱測度をもつすべての定常過程の分類を行い、この文脈における同素体問題を解くこと。
• 固有関数および力学系を介して、純点散乱とほぼ周期性の間の関係を確立すること。
• 与えられた純点散乱測度および位相データから定常過程を構成するための構成的技法を提供すること。
• 明示的な幾何的または測度論的記述ではなく、テスト関数への作用の観点から、その下位構造の性質を明確にすること。

提案手法

• 測度論的力学系としてのエルゴディック空間定常過程を導入し、環境空間へのリンク写像を備えることで、自己相関および散乱測度の定義を可能にする。
• 2つの異なる構成法を用いる：1つはハルモス＝ヴァン・ノイマンの定理を定常過程に拡張するものであり、もう1つは固有関数のバナッハ代数上のゲルファンド構成である。
• 局所コンパクトアーベル群上の調和解析を適用し、フーリエ変換を用いて物理空間における自己相関とフーリエ空間における散乱を関連付ける。
• 関連する力学系のスペクトル的性質を特徴づけることで、純点散乱をほぼ周期性および連続的固有関数の存在と結びつける。
• ブラッグピークから導かれる関係子群の双対群を用いて、逆問題の解を分類し、解空間が畳み込みに関して群をなすことを示す。
• リースの表現定理を用いて、元の構造が $L^1$-summable でない場合でも、リンク関数の連続性および有界性の適切な条件下では、過程が測度値過程として解釈可能である条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正の中心対称測度が、ある定常過程の散乱として現れる可能性はあるか？
• RQ2 与えられた純点散乱測度をもつすべての定常過程の完全な分類は何か？
• RQ3 下位の過程が持つ構造的性質は何か？ そして、明示的な幾何的実現なしにそれらをどのように記述できるか？
• RQ4 与えられた純点散乱測度から、逆散乱問題のすべての解をどのように構成できるか？
• RQ5 逆問題を解く際に用いられるモーメントの階層の背後には、より深い代数的またはコhomological構造があるか？

主な発見

• 与えられた純点散乱測度をもつすべての定常過程は、ブラッグピークに関連する関係子群の双対群によって分類され、この文脈における同素体問題の完全な解が得られる。
• 固定された純点散乱測度をもつ過程の解空間は、畳み込みに関して群をなしており、豊かな代数的構造を持つことが示される。
• 純点散乱は、関連する力学系に連続的固有関数が存在することによって示される、下位過程のほぼ周期性と同値である。
• このような過程の構成は2通りの方法で達成できる：ハルモス＝ヴァン・ノイマン型の上昇による方法と、固有関数のバナッハ代数上のゲルファンド構成による方法であり、それぞれが異なる洞察を提供する。
• 元の構造が $L^1$-summable でない場合でも、リンク関数の適切な連続性および有界性の条件下では、過程は依然として測度値過程として解釈可能である。
• 特に、$2m+1$次のモーメントまでが、構造が $\mathcal{S}+\cdots+\mathcal{S}=\mathcal{E}$（$m$ 個の和）という和集合条件を満たす場合に、過程を完全に決定可能であり、解の階層的組織を示唆する。