[論文レビュー] Statistical properties of diffeomorfisms with weak invariant manifolds

José F. Alves, Davide Azevedo|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、弱い不変多様体を有するコンパクトなリーマン多様体上の微分同相写像に対して、Gibbs-Markov-Young 構造を導入することにより、相関関数の多項式的減衰および大偏差を確立する。帰還時間の尾部に対する多項式的制御が、相関関数および大偏差の多項式的減衰率をもたらすことを証明し、以前の指数的結果を、混合速度が遅い非一様的に双曲的系へ一般化する。

ABSTRACT

We consider diffeomorphisms of compact Riemmanian manifolds which have a Gibbs-Markov-Young structures, consisting of a reference set $Λ$ with a hyperbolic product structure and a countable Markov partition. We assume polynomial contraction on stable leaves, polynomial backward contraction on unstable leaves, a bounded distortion property and a certain regularity of the stable foliation. We establish a control on the decay of correlations and large deviations of the SRB measure of the dynamical system, based on a polynomial control on the Lebesgue measure of the tail of return times. Finally, we present an example of a dynamical system defined on the torus and prove that it verifies the properties of the Gibbs-Markov-Young structure that we considered.

研究の動機と目的

• 非一様的に双曲的な微分同相写像における相関関数の減衰および大偏差の理論を、多項式的混合率へ拡張すること。
• 弱い双曲性を有する系、特に安定葉上での多項式的収縮および不安定葉上の多項式的後退収縮を分析すること。
• 帰還時間の尾部の振る舞いと、相関関数の減衰や大偏差といった統計的性質との間の関係を確立すること。
• 非指数的混合性を有する系のための一般枠組み — Gibbs-Markov-Young 構造 — を提供すること、ならびにトーラス上に新しい例を構成すること。
• 指数的帰還時間尾部に基づく先行結果を多項式的ケースへ一般化し、非一様的に双曲的な系への適用範囲を広げること。

提案手法

• 参考集合 Λ 上に、双曲的積構造と可算なマルコフ分割を持つ Gibbs-Markov-Young 構造を定義する。
• 安定葉上での多項式的収縮、不安定葉上での多項式的後退収縮、有界な歪度、安定foliationの正則性を仮定する。
• Youngのタワー構成と商タワーを用いて、系の帰還ダイナミクスをモデル化し、帰還時間の尾部減衰と統計的性質との関係を確立する。
• 帰還時間関数とその尾部分布を用いて、不変測度間のカップリングを構築する。
• 帰還時間分布に関連する不等式を適用し、パラメータ ρ > ζ + 1 を用いて相関関数の減衰率を制御する。
• 帰還時間の尾部が P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1} を満たすならば、相関関数の減衰は C′/n^{ζ−1} で有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰還時間の尾部に対する多項式的制御は、非一様的に双曲的な微分同相写像における相関関数の減衰にどのように影響するか？
• RQ2 帰還時間尾部の多項式的仮定のもとで大偏差は制御可能か？ その場合の減衰率はどのようになるか？
• RQ3 弱い双曲性を有する動的系に、Gibbs-Markov-Young 構造が存在するための条件は何か？
• RQ4 有界な歪度と安定foliationの正則性は、系の統計的制御にどのように寄与するか？
• RQ5 必要な多項式的尾部および構造的条件を満たすトーラス上の具体的な例を構成可能か？

主な発見

• 帰還時間の尾部が P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1} を満たすならば、SRB測度における相関関数の減衰は C′/n^{ζ−1} で有界である。
• 大偏差は多項式的に制御され、そのレートは帰還時間関数の尾部の振るまいに依存する。
• 証明は、帰還時間構造と商タワー構成を用いた不変測度間のカップリングに依拠する。
• 減衰バウンドにおける定数 C′ は、初期の尾部定数 C および歪度定数 D_φ と D_φ′ に依存する。
• 弱い双曲性、有界な歪度、正則な安定foliation、多項式的帰還時間尾部を満たす、トーラス上に新しい例が構成された。
• この枠組みは、先行の指数的減衰から多項式的減衰への一般化を実現し、混合速度が遅い系への適用範囲を拡大した。