[論文レビュー] Statistical stability in time reversal

George Papanicolaou, Leonid Ryzhik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2002

Microwave Imaging and Scattering Analysis参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高周波近似とウィグナー分布解析を用いて、ランダムまたは不均一な媒質における時間反転の統計的安定性を確立する。空間的に局在した狭帯域源に対しては、時間反転の再焦点化が回折限界を超える超解像を達成し、ウィグナー分布の自己平均化により統計的に安定していることが示され、一方で広がった源では帯域幅が広い信号に対してのみ統計的安定性が得られる。

ABSTRACT

When a signal is emitted from a source, recorded by an array of transducers, time reversed and re-emitted into the medium, it will refocus approximately on the source location. We analyze the refocusing resolution in a high frequency, remote sensing regime, and show that, because of multiple scattering, in an inhomogeneous or random medium it can improve beyond the diffraction limit. We also show that the back-propagated signal from a spatially localized narrow-band source is self-averaging, or statistically stable, and relate this to the self-averaging properties of functionals of the Wigner distribution in phase space. Time reversal from spatially distributed sources is self-averaging only for broad-band signals. The array of transducers operates in a remote-sensing regime so we analyze time reversal with the parabolic or paraxial wave equation.

研究の動機と目的

• 時間反転の再焦点化がランダムまたは不均一な媒質において統計的に安定である条件を数学的に確立すること。
• 高周波、遠距離センシング領域において、多重散乱が回折限界を超える分解能を向上させる仕組みを分析すること。
• 狭帯域信号と帯域幅が広い信号において、局在源と広がった源の統計的安定性の違いを明確にすること。
• 時間反転の統計的安定性を位相空間におけるウィグナー分布関数の自己平均化特性と結びつけること。
• 弱い不純度を有するランダム媒質における高周波波動伝播をモデル化するための放物型（軸対称）波動方程式の厳密な正当化。

提案手法

• 弱い屈折率変動を有するランダム媒質における高周波波動伝播をモデル化するために、放物型または軸対称波動方程式を用いる。
• 位相空間における波エネルギーの表現としてウィグナー分布を用い、時間反転信号の統計的性質を分析する。
• 確率的微分方程式と拡散近似を用いて、ランダム媒質内を通過する光線の確率的流れとしての伝播をモデル化する。
• モーメントおよび期待値の収束を調べることで、ウィグナー分布の自己平均化行動を時間反転下で分析する。
• ランダム媒質の摂動下における位相空間内でのウィグナー分布の時間発展を記述するためのリウヴィル＝イート方程式を用いる。
• リーマン優越収束定理およびトネリの定理を用いて、2階モーメントの収束と統計的安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム媒質内での時間反転の再焦点化が統計的に安定である条件は何か？
• RQ2 多重散乱は、回折限界を超えて時間反転の分解能をどのように向上させるか？
• RQ3 なぜ局在した狭帯域源では統計的安定性が観測されるが、広がった源では帯域幅が広い信号でなければ観測されないのか？
• RQ4 ウィグナー分布の自己平均化特性が時間反転信号の統計的安定性を保証する役割は何か？
• RQ5 放物型波動方程式近似が、高周波、遠距離センシング領域における時間反転の厳密な解析を可能にする仕組みは何か？

主な発見

• 空間的に局在した狭帯域源に対しては、時間反転の再焦点化が、スポットサイズ λL/aₑ の超解像を達成する。ここで aₑ > a は多重散乱によって拡大された有効開口径である。
• 局在した狭帯域源からの逆方向伝搬信号は、位相空間におけるウィグナー分布関数の自己平均化により統計的に安定している。
• 空間的に広がった源に対しては、時間反転における統計的安定性は帯域幅が広い信号に対してのみ達成され、狭帯域信号では達成されない。
• 有効開口径 aₑ はランダム媒質内での伝搬距離 L とともに増加し、物理的アレイサイズ a を超えて分解能が向上する。
• ウィグナー分布の時間反転下での統計的安定性は、2階モーメントの収束および位相空間内での有界性を用いて厳密に証明された。
• 本分析は、フェルマー数が1次オーダーであり、放物型近似が有効である高周波、遠距離センシング領域で成立する。