[論文レビュー] Stein's method for normal approximation in Wasserstein distances with application to the multivariate Central Limit Theorem

Thomas Bonis|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 32

ひとこと要約

本論文は、確率過程を用いてウォッサースタイン距離（次数2以上）における正規近似を定量化するStein型境界を開発し、モーメント条件と置換性（exchangeability）仮定の下で多変量CLTの最適な収束速度を提供する。

ABSTRACT

We use Stein's method to bound the Wasserstein distance of order $2$ between a measure $\ u$ and the Gaussian measure using a stochastic process $(X_t)_{t \\geq 0}$ such that $X_t$ is drawn from $\ u$ for any $t > 0$. If the stochastic process $(X_t)_{t \\geq 0}$ satisfies an additional exchangeability assumption, we show it can also be used to obtain bounds on Wasserstein distances of any order $p \\geq 1$. Using our results, we provide optimal convergence rates for the multi-dimensional Central Limit Theorem in terms of Wasserstein distances of any order $p \\geq 2$ under simple moment assumptions.

研究の動機と目的

• 多次元において経験的和の分布とガウス分布との間のウォッサースタイン距離を測定する問題を動機づけ、形式化する。
• 確率過程を用いたStein作用素フレームワークを構築し、W2および高次のウォッサースタイン距離を上界する。
• 単純なモーメント仮定の下で、多変量中心極限定理の次元依存の収束速度を導出する。
• 1次元および多次元の結果を拡張してWp (p≥1) の境界を提供し、いくつかの領域で最適スケーリングを示す。

提案手法

• νから抽出された過程(Xt)に結びつく不変演算子Lνの族を導入し、ガウス生成子Lγと比較する。
• LνとLγのテイラー展開を用いた解析により、偏差をXt−X0のモーメントと関連づける。
• 過程と補助量S(t)を用いてFisher情報I(νt)を定義・評価し、時間積分してW2を上界する。
• 明示的な境界 W2(ν, γ) ≤ ∫0∞ e−t E[S(t)]1/2 dt を提供し、S(t)をXt−X0の条件付きモーメントで表現する。
• 1次元のWp境界（定理7）と、置換性仮定の下での多次元のWp境界（定理9）を導出する。
• これらの境界をCLT設定に適用し、和の項のモーメントと次元に依存する速度を導く。」],
• research_questions:[
• How can Stein's method be adapted to bound Wasserstein distances of order p≥1 between a sum's distribution and the Gaussian in the multivariate setting?
• 多変量設定において、Stein法を適応させて和の分布とガウス分布との間の秩p≥1のウォッサースタイン距離を境界づけるにはどうすればよいか？
• What moment and exchangeability conditions suffice to obtain explicit convergence rates in Wasserstein distances for the multivariate Central Limit Theorem?
• 多変量の中心極限定理に対して、ウォッサースタイン距離の明示的な収束速度を得るには、どのモーメント条件と置換性条件が十分か？
• How do one-dimensional and multidimensional Wasserstein bounds compare, and what are the optimal rates under simple moment assumptions?
• 1次元と多次元のウォッサースタイン境界を比較するとどうなり、単純なモーメント仮定の下で最適な速度はどのようになるか？

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1
• RQ2

主な発見

• 一般的なW2境界を得る：W2(ν, γ) ≤ ∫0∞ e−t E[S(t)]1/2 dt で、Xt−X0の条件付きモーメントを含む計算可能なS(t)を用いる。
• Rd内の独立なX1,...,Xnと有限4次モーメントを持つCLTについて、W2(νn, γ) ≤ C d1/4 ||E[X1X1T] ||XS1/2 / √n（定理1）
• 高次モーメントが存在する場合、Wp(νn, γ)は√nに比例する項を含む境界を持つ：Wp(νn, γ) ≤ Cp (d1/4 ||E[X1X1T] ||XS1/2 + E||X1||p+2)1/p / √n（定理1）
• 1Dでは、Wp(ν, γ)はSp(t)を含む積分で界を持つ（定理7）。
• Rdでは、置換性仮定（(X0, Xt)の法が（Xt, X0）の法に等しい）を満たす場合、Wp(ν, γ)に対して並行境界が成り立つ（定理9）。
• 本研究の結果は古典的なCLT速度を再現・拡張し、特定の領域での最適スケーリングや、より弱いモーメント仮定の下での境界を含む（定理2, 7, 9, 11）。