[論文レビュー] Step refinable functions and orthogonal MRA on $p$-adic Vilenkin groups

С. Ф. Лукомский|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p進Vilenkin群上の正規直交多スケール解析(MRA)を生成する段階的再帰関数の必要十分条件を確立する。この関数のフーリエ変換の台は、$ \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ に含まれることを証明し、従来の仮定である台が $ \mathfrak{G}_1^\perp$ にあるという仮定を改善する。さらに、マスク $m_0(\chi)$ が $ \mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 上で定数で、$|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$ である関数のクラスに対して、この境界が鋭いことを示している。

ABSTRACT

We find the necessary and sufficient conditions for refinable step function under which this function generates an orthogonal MRA in the $L_2(\mathfrak G)$ -spaces on Vilenkin groups $\mathfrak G$. We consider a class of refinable step functions for which the mask $m_0(χ)$ is constant on cosets $\mathfrak G_{-1}^\bot$ and its modulus $|m_0(χ)|$ takes two values only: 0 and 1. We will prove that any refinable step function $φ$ from this class that generates an orthogonal MRA on $p$-adic Vilenkin group $\mathfrak G$ has Fourier transform with condition ${ m supp} \hat φ(χ)\subset \mathfrak G_{p-2}^\bot$. We show the sharpness of this result too.

研究の動機と目的

• p進Vilenkin群 $L_2(\mathfrak{G})$ 上での段階的再帰関数が正規直交多スケール解析(MRA)を生成するための必要十分条件を特定すること。
• 従来の仮定、すなわちこのような関数のフーリエ変換が $ \mathfrak{G}_1^\perp$ に台を持つべきであるという仮定を、過去の例に基づいて疑問視すること。
• マスク $m_0(\chi)$ が $ \mathfrak{G}_{-1}^\perp$ の陪集合上で定数で、$|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$ である特定の再帰的段階関数のクラスを分析すること。
• 任意の正規直交MRAを生成する関数が $\operatorname{supp}\hat{\varphi}(\chi) \subset \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ を満たすことを証明し、この境界が鋭いかどうかを示すこと。

提案手法

• ゼロ次元の局所的にコンパクトなアーベル群におけるフーリエ変換を用いた分析であり、特に部分群の基本鎖 $G_n$ を持つVilenkin群を対象とする。
• 双対群と直交補空間 $\mathfrak{G}_n^\perp$ を定義し、文字群を用いて $\varphi$ のスペクトル台を分析する。
• マスク $m_0(\chi)$ が $ \mathfrak{G}_{-1}^\perp$ の陪集合上で定数であり、絶対値が0と1に限られることを仮定し、再帰方程式の構造を制限する。
• マスクから導かれる $\lambda_k$ 係数の積を用いてフーリエ変換 $\hat{\varphi}(\chi)$ を再帰的に分解し、陪集合レベルごとに非ゼロ台を追跡する。
• 各陪集合 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp r_{-1}^{\alpha_{-1}} \cdots r_{l-1}^{\alpha_{l-1}}$ における $|\hat{\varphi}|^2$ の和がすべての $\alpha_{-1}$ に対して1に等しいことを示し、MRAの一貫性を保証することで、システム $\{\varphi(x - h)\}_{h \in H_0}$ の正規直交性を検証する。
• 境界 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ の鋭さは、$\hat{\varphi}$ が $l = p-2$ に対して $\mathfrak{G}_l^\perp \setminus \mathfrak{G}_{l-1}^\perp$ で非ゼロだが $\mathfrak{G}_{l+1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_l^\perp$ でゼロである例を構成することで示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進Vilenkin群上での正規直交MRAを生成する任意の再帰的段階関数は、そのフーリエ変換の台が $ \mathfrak{G}_1^\perp$ にある必要があるのか？
• RQ2 マスク $m_0(\chi)$ が $ \mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 上で定数で、$|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$ であるとき、このような関数の最小スペクトル台は何か？
• RQ3 フーリエ変換 $\hat{\varphi}$ の台は $\mathfrak{G}_1^\perp$ より小さくできるか？ もしそうなら、最適な境界は何か？
• RQ4 このクラスの関数に対して $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ の境界は鋭いか、それより小さくできるか？
• RQ5 マスク $m_0(\chi)$ の構造、特に周期性と二値絶対値が、$\hat{\varphi}$ の台にどのように制限を加えるか？

主な発見

• 指定されたクラスに属する任意の再帰的段階関数 $\varphi$ が、p進Vilenkin群 $\mathfrak{G}$ 上で正規直交MRAを生成するためには、$\operatorname{supp}\hat{\varphi}(\chi) \subset \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ を満たす必要がある。これは $p > 3$ のとき $\mathfrak{G}_1^\perp$ よりも厳密に小さい集合である。
• 境界 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ は鋭い。$\hat{\varphi}$ が $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp \setminus \mathfrak{G}_{p-3}^\perp$ で非ゼロだが $\mathfrak{G}_{p-1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ でゼロである例を構成することで、その鋭さが示された。
• $\hat{\varphi}(\chi)$ は $l = p-2$ に対して $\mathfrak{G}_l^\perp \setminus \mathfrak{G}_{l-1}^\perp$ で非ゼロだが、$\mathfrak{G}_{l+1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_l^\perp$ で消えるため、台条件のタイトさが確認された。
• システム $\{\varphi(x - h)\}_{h \in H_0}$ の正規直交性は、各陪集合 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp r_{-1}^{\alpha_{-1}} \cdots r_{l-1}^{\alpha_{l-1}}$ における $|\hat{\varphi}|^2$ の和がすべての $\alpha_{-1} \in \{0, \dots, p-1\}$ に対して1に等しいことを示すことによって検証された。
• 構成は、マスクから導かれる係数 $\lambda_k$ に依存しており、$\lambda_k = 0$ （$k \in E_l^{(0)}$）かつ $\lambda_k \neq 0$ （$k \in E_l^{(1)}$）である。$\hat{\varphi}$ の積構造により、必要な台と正規化が保証される。
• この結果は、従来の仮定である $\mathfrak{G}_1^\perp$ が最小台であるという仮定を覆しており、$p > 3$ のとき台は顕著に小さくでき、正しい最小台は $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ であることが示された。