[論文レビュー] Stepping-stone model with circular Brownian migration

Xiaowen Zhou|ArXiv.org|Sep 16, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、アラティア流れと円周的共alesceするブラウン運動を用いて、円周的ブラウン移動を伴うステッピング・ストーンモデルの新しい表現を導入し、絶滅時刻の分布の明示的計算を可能にした。主な結果は、円周上に1つの型しか残らなくなった時点のラプラス変換である：$\mathbb{Q}^\mu[e^{-\lambda T}] = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sinh(\sqrt{\lambda})}$、初期の広がった測度$\mu$に依存しない。これは、モデルにおけるコンSENSUS時刻の分布的特徴付けを完全に与える。

ABSTRACT

In this paper we consider a stepping-stone model on a circle with circular Brownian migration. We first point out a connection between Arratia flow and the marginal distribution of this model. We then give a new representation for the stepping-stone model using Arratia flow and circular coalescing Brownian motion. Such a representation enables us to carry out some explicit computation. In particular, we find the Laplace transform for the time when there is only a single type left across the circle.

研究の動機と目的

• ステッピング・ストーンモデルに円周的ブラウン移動を組み合わせた新しい表現を、アラティア流れと円周的共alesceするブラウン運動を用いて確立すること。
• 円周上に1つの型しか残らなくなった時点の分布の明示的計算を可能にすること。
• アラティア流れの前像を用いて、過程の到着分布を特定すること。
• 一般の初期条件（広がった型分布を伴う）におけるコンセンサス時刻$T$のラプラス変換を導出すること。

提案手法

• モデルはアラティア流れと円周的共alesceするブラウン運動を用いて表現され、ステッピング・ストーン過程と円周上の粒子の共alesceを結びつける。
• 過程$X'$は、アラティア流れの前像を介してステップ関数値をとる過程として構成され、適切な有限次元分布を保証する。
• アラティア流れの像を用いて$X'$の到着分布を指定し、コンセンサスに至るまでの時間を導出可能にする。
• コンセンサス時刻$T$のラプラス変換は、$\epsilon$-近似と隣接する粒子間の最大ギャップの分布を含む極限手続きによって導出される。
• ブラウン運動の双対性と共alesce性を活用して、生存時間分布の計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円周的ブラウン移動を伴うステッピング・ストーンモデルにおいて、1つの型しか残らなくなった時点の分布は何か？
• RQ2 アラティア流れは、ステッピング・ストーンモデルの周辺分布とどのように関係するか？
• RQ3 粒子の共alesceと流れの表現を用いて、コンセンサス時刻分布を明示的に計算できるか？
• RQ4 コンセンサス時刻分布は初期の広がった測度$\mu$に依存するか？
• RQ5 $\epsilon \to 0^+$における、生存する型を含む区間の極限的挙動は何か？

主な発見

• コンセンサス時刻$T$のラプラス変換は$\mathbb{Q}^\mu[e^{-\lambda T}] = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sinh(\sqrt{\lambda})}$であり、初期の広がった測度$\mu$に依存しない。
• $T$の分布は、円周上のアラティア流れの像が1点に収縮する最初の時刻と同一である。
• 生存確率$\mathbb{Q}^\mu\{T \leq t\}$は、同じ初期条件のもとで$1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \exp(-n^2 \pi^2 t)$で明示的に与えられる（$t \geq 0$）。
• $\epsilon \to 0^+$において、生存する型を含む区間は、$\mathbb{T}$上の一様分布に分布収束する。
• 初期の広がった測度$\mu$が、ほとんどすべての$e \in \mathbb{T}$について$\mu(e)$が広がっている限り、コンセンサス時刻分布はすべての初期測度に対して普遍的である。
• $\epsilon \to 0^+$において、隣接する粒子間の最大ギャップ$\Delta(\epsilon)$の極限挙動は確率的に消失し、コンセンサスへの収束が保証される。