[論文レビュー] Stochastic flows with reflection

Andrey Pilipenko|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の直交座標空間 ℝᵈ₊ における反射付き確率的フローを調査し、初期条件に関するフロー写像のソボレフ微分可能性を確立するとともに、画像集合の境界における Hausdorff 測度に関して、測度 μ∘φₜ⁻¹ の絶対連続性を証明する。主な貢献は、係数にやや弱い正則性および非退化性条件が課された場合でも、フローが測度の絶対連続性を保存することを示したことである。これは、境界で軌道が合流した後でも成立する。

ABSTRACT

Some topological properties of stochastic flow $φ_t(x)$ generated by stochastic differential equation in a ${\mathbb R}^d_+$ with normal reflection at the boundary are investigated. Sobolev differentiability in initial condition is received. The absolute continuity of the measure-valued process $μ\circφ_t^{-1}$, where $μ\llλ^d,$ is studied.

研究の動機と目的

• 半空間 ℝᵈ₊ における法線反射付き確率的フローの位相的性質および微分可能性を分析すること。
• 異なる初期点から出発する軌道の挙動、特に境界における合流の様子を調査すること。
• 到達時間および Hausdorff 測度を用いて、フローの像およびその境界を特徴づけること。
• 画像集合の境界における (d−1) 次元 Hausdorff 測度に関して、フロー写像測度 μ∘φₜ⁻¹ の絶対連続性を確立すること。
• 局所微分同相写像および境界の幾何的条件を用いて、半空間から一般の滑らかな境界を持つ領域への結果の拡張を図ること。

提案手法

• 境界 ∂ℝᵈ₊ = ℝᵈ⁻¹×{0} における法線反射を伴う確率的微分方程式を用い、ウィーナー過程と、過程が境界に到達する際にのみ増加する局所時間過程 ξ(t,x) によって駆動する。
• コルモゴロフの定理を適用し、ほとんどすべての ω に対して (t,x) に関して連続なフロー (φₜ(x), ξ(t,x)) の同時連続版を構成する。
• 局所化技術を用いて、C² 境界を持つ一般の領域 G ⊂ ℝᵈ および内向き法線反射に対して、半空間 ℝᵈ₊ における結果を拡張する。
• フロー写像測度の絶対連続性を保証するため、導関数行列 Uₛₜ(x) の境界接空間への射影のランクに関する条件を導出する。
• 導関数行列の射影に関するランク条件（幾何的条件）を導入し、これにより境界における Hᵈ⁻¹ に関してフロー写像測度が絶対連続であることを保証する。
• 合流は境界でのみ発生し、内部から出発する軌道は境界に到達後、境界からの軌道と合流して一緒に移動することを踏まえ、画像集合 φₜ(ℝᵈ₊) の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が初期条件 x に関してどの程度の条件下で確率的フロー φₜ(x) がソボレフ微分可能となるか？
• RQ2 異なる初期点から出発する軌道は、特に合流の観点からどのように相互作用するか？
• RQ3 画像集合 φₜ(ℝᵈ₊) の境界の構造は何か？ また、境界到達時間とどのように関係するか？
• RQ4 画像集合の境界における (d−1) 次元 Hausdorff 測度に関して、フロー写像測度 μ∘φₜ⁻¹ がどの条件下で絶対連続となるか？
• RQ5 半空間 ℝᵈ₊ における結果は、境界の幾何的条件を満たす一般の滑らかな境界を持つ領域へ拡張可能か？

主な発見

• フロー φₜ(x) は (t,x) に関して連続であり、各 t に対して ∩ₚ>₁ W¹ₚ,loc(ℝᵈ₊, ℝᵈ) に属する。係数がリプシッツ連続でさえも成立する。
• ℝᵈ₊ の内部に位置する異なる点から出発する軌道は、境界に到達する前には衝突しない。到達後は合流し、同じように移動する。
• 画像集合 φₜ(ℝᵈ₊) の境界は φₜ(∂ℝᵈ₊) = φₜ({x : τ(x) ≤ t}) と一致し、コンパクト集合上では有限な (d−1) 次元 Hausdorff 測度を持つ。
• 射影された導関数行列がほとんど確実にランク d−1 を持つ限り、フロー写像測度 μ∘φₜ⁻¹ は画像集合の境界における Hᵈ⁻¹ に関して絶対連続である。
• ℝ² 内の単位円板では、t ≥ σ（ブラウン運動が半径 2 に到達する最初の時刻）のとき、画像集合 φₜ(G) は非稠密かつ境界と一致し、t ≥ σ のとき H¹ に関してフロー写像測度 μ∘φₜ⁻¹ は絶対連続である。
• 境界に互いに直交する2つの線分が存在する場合、導関数行列の射影に関するランク条件を満たさないため、絶対連続性の条件は成立しない。