[論文レビュー] Stochastic Hamiltonian flows with singular coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、${\mathbb{R}}^{2d}$ 上の特異係数を有する確率的ハミルトニアン系に対して、臨界的正則性条件 $b \in H^{2/3,0}_{p}$ および $\nabla\sigma \in L^p$（$p > 2(2d+1)$）の下で、強い解の存在および一意性を確立する。$\sigma$ は有界かつ一様に非退化である。関連するフローが確率的ホメオモルフィズムであることを証明し、解写像が勾配のモーメントを有する弱微分可能性を示す。これは、Krylov–Röckner型の結果を臨界的微分可能性指数を有する退化した運動方程式に拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic Hamiltonian system in ${\mathbb R}^{2d}$ (a second order stochastic differential equation), $$ d \dot X_t=b(X_t,\dot X_t)d t+σ(X_t,\dot X_t)d W_t,\ \ (X_0,\dot X_0)=(x,v)\in{\mathbb R}^{2d}, $$ where $b(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d$ and $σ(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$ are two Borel measurable functions. We show that if $σ$ is bounded and uniformly non-degenerate, and $b\in H^{2/3,0}_p$ and $ ablaσ\in L^p$ for some $p>2(2d+1)$, where $H^{α,β}_p$ is the Bessel potential space with differentiability indices $α$ in $x$ and $β$ in $v$, then the above stochastic equation admits a unique strong solution so that $(x,v)\mapsto Z_t(x,v):=(X_t,\dot X_t)(x,v)$ forms a stochastic homeomorphism flow, and $(x,v)\mapsto Z_t(x,v)$ is weakly differentiable with ess.$\sup_{x,v}E\left(\sup_{t\in[0,T]}| abla Z_t(x,v)|^q ight)

研究の動機と目的

• 退化した確率的ハミルトニアン系に対して、粗い係数のもとで強い一意性および正則性を確立すること。
• Krylov–Röckner型の結果を臨界的微分可能性指数 $\alpha = \frac{2}{3}$ および $\beta = 0$ を有する運動方程式に拡張すること。
• 解写像が初期データに関して弱微分可能であり、確率的ホメオモルフィズムフローを形成することを示すこと。
• 重ね合わせ原理を用いて、粗い係数を有する運動方程式のFokker–Planck方程式に対するマルティングル問題の適切性を証明すること。

提案手法

• 特異係数の存在下でドリフトを正則化し、SDEを制御するためにZvonkin変換を用いる。
• 解およびその勾配を制御するために、退化した放物型方程式に対するKrylovの事前推定を適用する。
• ドリフト $b$ および拡散 $\sigma$ の正則性を定量化するために、Bessel潜在空間 $H^{\alpha,\beta}_{p}$ を用いる。
• 新規の確率的グローヴァル型不等式を用いて、解フローの勾配のモーメントを確立する。
• マルティングル問題とFokker–Planck方程式を結びつけるために、重ね合わせ原理（Figalli, Trevisan）に依存する。
• 最大関数の推定およびホルダーの不等式を用いて、確率積分および勾配モーメントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト $b$ が臨界的正則性 $H^{2/3,0}_{p}$ を持ち、$\nabla\sigma \in L^p$ である場合、確率的ハミルトニアン系に強い解が存在するか。
• RQ2 これらの条件下で、解写像 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$ は確率的ホメオモルフィズムフローを形成するか。
• RQ3 解写像は勾配ノルムの有限モーメントを有する弱微分可能か。
• RQ4 粗い係数を有する運動方程式のFokker–Planck作用素に対するマルティングル問題は適切か。
• RQ5 重ね合わせ原理により、これらの仮定の下で運動方程式のFokker–Planck方程式の確率測度値解の一意性が保証されるか。

主な発見

• 指定された $b$ および $\sigma$ の条件下で、確率的ハミルトニアン系は一意な強い解を有する。
• 解写像 $Z_t(x,v)$ は ${\mathbb{R}}^{2d}$ 上の確率的ホメオモルフィズムフローである。
• 写像 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$ は弱微分可能であり、任意の $q \geq 1$ および $T \geq 0$ に対して $\sup_{x,v} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,T]}|\nabla Z_t(x,v)|^q\right] < \infty$ を満たす。
• 粗い係数を有する運動方程式のFokker–Planck方程式は、マルティングル問題および重ね合わせ原理を用いて、一意な確率測度値解を有する。
• $b$ の臨界的微分可能性指数 $\alpha = \frac{2}{3}$ がカバーされ、以前の結果が要求していた $\alpha > \frac{2}{3}$ よりも弱い条件に拡張される。
• 本手法は、新規の確率的グローヴァル不等式およびZvonkin変換とKrylov推定を用いた勾配推定に依存する。