[論文レビュー] Stochastic homogenization of $L^\infty$ variational problems

Scott N. Armstrong, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L^\infty$ 変分問題の確率的均質化を、ハミルトニアン $H$ に関連するイクアドナル方程式に結びついた一般化された距離関数を導入し、絶対的最小化子の均質化を活用することで、定常的で混合的な確率的環境において確立する。主な結果は、$\varepsilon$-依存の絶対的最小化子 $u^\varepsilon$ が、確率的にほとんど surely かつ一様に、均質化ハミルトニアン $\overline{H}$ によって支配される決定的効果的問題の唯一の絶対的最小化子 $u$ に収束することである。この $\overline{H}$ は、ハミルトニアン方程式の均質化において得られるものと一致する。

ABSTRACT

We present a homogenization result for $L^\infty$ variational problems in general stationary ergodic random environments. By introducing a generalized notion of distance function (a special solution of an associated eikonal equation) and demonstrating a connection to absolute minimizers of the variational problem, we obtain the homogenization result as a consequence of the fact that the latter homogenizes in random environments.

研究の動機と目的

• 標準的な凸性に基づく手法が、厳密な強凸性の欠如のため失敗するため、定常的で混合的な確率的媒体における $L^\infty$ 変分問題の均質化を確立すること。
• 非一意性および非局所化の問題を克服するため、適切な定式化を提供する絶対的最小化子の概念を用いて、$L^\infty$ 最小化における非一意性と非局所化の問題を解決すること。
• $L^\infty$ 変分問題を、効果的ハミルトニアン $\overline{H}$ を通じて、一階のハミルトニアン・ヤコビ方程式の均質化に結びつけること。
• 最小性の仮定が最小限の正則性および混合性仮定のもとで、$\varepsilon$-依存の絶対的最小化子が確率的にほとんど surely かつ一様に、決定的限界問題の唯一の最小化子に収束することを証明すること。
• 確率的環境から導かれる効果的ハミルトニアン $\overline{H}$ が、$L^\infty$ 変分問題の限界挙動を支配することを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン $H$ に関連するイクアドナル方程式の解として、一般化された距離関数 $d_{\mu,x_0}$ を導入し、確率的媒体内での点の間の最小コストを捉える。
• 部分加法的エルゴード定理を用いて、スケーリングされた距離関数 $t^{-1}d_{\mu,0}(ty,\omega)$ が、決定的で正 homogenerous な極限 $a_\mu(y)$ にほとんど surely 収束することを確立する。
• 極限 $a_\mu$ が $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ で $\overline{H}(p + Da_\mu) = \mu$ を満たすことを証明し、これにより $\overline{H}$ が効果的ハミルトニアンとして同定されることを示す。
• 粘性解フレームワークにおける摂動されたテスト関数法を適用し、$a_\mu$ がイクアドナル方程式の粘性解であることを検証することで、均質化極限と一貫性を持つことを保証する。
• 絶対的最小化子の比較原理と限界問題の解の一意性を活用し、$u^\varepsilon$ が $u$ に一様収束することを確立する。
• ハミルトニアン・ヤコビ方程式の均質化が $L^\infty$ 変分問題の均質化をもたらすことを示すことで、両者の間の接続を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的で定常的かつ混合的なハミルトニアンを有する $L^\infty$ 変分問題は、決定的限界に均質化されるか？
• RQ2 絶対的最小化子の概念を用いることで、確率的環境下での $L^\infty$ 最小化における非一意性および非局所化の問題を克服できるか？
• RQ3 ハミルトニアン・ヤコビ方程式の均質化から得られる効果的ハミルトニアン $\overline{H}$ は、限界 $L^\infty$ 変分問題を支配するものと同じか？
• RQ4 一般化された距離関数は、確率的 $L^\infty$ 問題と決定的限界を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 どのような条件下で、$\varepsilon$-依存の絶対的最小化子の列は、一様かつ確率的にほとんど surely に、効果的問題の唯一の最小化子に収束するか？

主な発見

• 絶対的最小化子 $u^\varepsilon$ は、$\overline{U}$ 上で確率的にほとんど surely かつ一様に、$\overline{H}$ によって支配される決定的限界問題の唯一の絶対的最小化子 $u$ に収束する。
• 効果的ハミルトニアン $\overline{H}$ は、ハミルトニアン・ヤコビ方程式 $w^\varepsilon_t + H(Dw^\varepsilon, x/\varepsilon, \omega) = 0$ の均質化から得られるものと同一である。
• イクアドナル方程式を解く一般化された距離関数 $d_{\mu,x_0}$ は、決定的限界 $a_\mu$ に均質化され、$\overline{H}(p + Da_\mu) = \mu$ を満たすことが示された。
• $a_\mu$ はイクアドナル方程式の粘性解であり、正 homogenerous かつリプシッツ連続であるため、効果的ハミルトニアンの存在性と正則性が保証される。
• 収束結果は、$H$ が $p$ に関して凸的かつ強制的であり、$(y,\omega)$ に関して定常的かつ混合的であり、$(p,y)$ に関して十分に正則であるという最小限の仮定のもとで成り立つ。
• 証明は部分加法的エルゴード定理と、粘性解フレームワークにおける摂動されたテスト関数法に依拠しており、ハミルトニアン・ヤコビ方程式との接続を通じて、$L^\infty$ 問題の均質化が確立される。