[論文レビュー] Stochastic processes on non-Archimedean spaces. I. Stochastic processes on Banach spaces

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Apr 5, 2001

advanced mathematical theories参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、p進数体上のバナッハ空間における確率過程の非アルキメデス的類似物を構築し、確率積分を導入し、伊藤の公式の非アルキメデス的版を証明する。確率過程の存在定理を確立し、p進数値の時間パラメータとC^n空間上の逆微分作用素を用いて一般化された伊藤型公式を導出することで、古典的確率解析を非アルキメデス的関数的設定に拡張する。

ABSTRACT

Non-Archimedean analogs of Markov quasimeasures and stochastic processes are investigated. Thery are used for the development of stochastic antiderivations. The non-Archimedean analog of the It$\hat o$ formula is proved.

研究の動機と目的

• p進数体上のバナッハ空間における確率過程の非アルキメデス的枠組みを構築し、古典的確率解析を非アルキメデス的関数解析へ拡張すること。
• 特に非アルキメデス的局所体上の非アルキメデス的設定におけるC^n関数に対して、確率積分および逆微分作用素を定義すること。
• p進時間およびバナッハ空間値過程への一般化により、古典的伊藤微積分を非アルキメデス的設定に拡張した伊藤の公式の類似物を証明すること。
• p進時間パラメータと連続係数関数を用いて、非アルキメデス的バナッハ空間上での確率過程の存在を確立すること。
• 非アルキメデス的位相群上のユニタリ表現への応用を含め、擬不変測度の研究と古典的結果の非アルキメデス的文脈への拡張を検討すること。

提案手法

• 確率過程における時間パラメータとしてp進数を用い、Q_p上の非アルキメデス的バナッハ空間における時間発展をモデル化する。
• C^{m-1}空間上に特定の逆微分作用素P_mを導入し、古典的不定積分を一般化する。連続性および微分可能性は、補題2.2、2.3および定理2.14により確立される。
• 関数空間上の作用素として非アルキメデス的確率積分を定義し、その連続性を命題4.5で証明する。
• 高階のフレシェ微分と作用素Φ^nを含む剰余項を伴うテイラー展開を適用し、確率的時間発展の公式を導出する。
• リッジジオメトリの依存を避けるために、差分商によるC^n関数の非アルキメデス的微分可能性の定義にスキホフの理論を用いる。
• 増分Δξ = aΔt + EΔwの分解を用いて、非アルキメデス的伊藤の公式を導出する。高階の項の収束条件（例えば、補題4.7の条件(c')）が満たされることで、収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進時間パラメータを用いた非アルキメデス的バナッハ空間上での確率過程を、どのように厳密に定義できるか？
• RQ2 非アルキメデス的設定における伊藤の公式の類似物は何か？構造的および収束的観点から、古典的バージョンとどのように異なるか？
• RQ3 非アルキメデス的体上のC^n空間上での逆微分作用素は、どのように古典的不定積分を一般化し、確率積分法を支援するか？
• RQ4 テイラー展開における高階の剰余項がどのような条件下で消えるか？これにより、正確な確率的公式への収束が保証されるか？
• RQ5 非アルキメデス的空間上での確率過程を用いて、位相群上の擬不変測度を構成できるか？ユニタリ表現への影響は何か？

主な発見

• 係数関数の条件およびp進時間区間の制約のもとで、定理4.3において非アルキメデス的バナッハ空間上での確率過程の存在が証明された。
• 非アルキメデス的伊藤の公式は、定理4.6、4.8および補題4.7で確立され、高階の項の収束は条件(c')または(i)により保証される。
• 命題4.5により、確率積分が関連関数空間上の作用素として連続であることが示された。
• 本稿では、解析関数に対して伊藤の公式が簡略化されることを証明したが、このような空間は一般応用には不適切であるため、C^n空間の使用が動機づけられる。
• lim_{n→∞} ||Φ^n f|| = 0 などの条件により、テイラー展開の剰余項の収束が保証され、f(ξ(t))の導関数および増分による正確な表現が可能になる。
• 本フレームワークにより、非アルキメデス的局所体上のバナッハ空間値係数関数を用いた確率過程の構成が可能となり、古典的確率解析を実数または複素数の設定を超えて拡張する。