[論文レビュー] Stochastic processes on non-Archimedean spaces with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky, A. Yu. Khrennikov|ArXiv.org|Oct 28, 2001

advanced mathematical theories参考文献 31被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、非アーケリデスキー体上の位相線型空間における確率過程の遷移測度が同様の体値をとることを前提に、非アーケリデスキー体上の非アーケリデスキー確率解析の枠組みを確立する。非アーケリデスキー体値のマルコフ過程およびポアソン過程を定義し、非アーケリデスキー版のリーヴィの定理を証明するとともに、$p$-進および非アーケリデスキー確率測度を用いて広範な確率過程のクラスを構成する。

ABSTRACT

Stochastic processes on topological vector spaces over non-Archimedean fields and with transition measures having values in non-Archimedean fields are defined and investigated. For this the non-Archimedean analog of the Kolmogorov theorem is proved. The analogos of Markov and Poisson processes are studied. For Poisson processes the corresponding Poisson measures are considered and the non-Archimedean analog of the Lèvy theorem is proved. Wide classes of stochastic processes are constructed.

研究の動機と目的

• 非アーケリデスキー体上の位相線型空間における厳密な確率解析の枠組みを構築し、古典的確率過程を非アーケリデスキー設定に拡張すること。
• 非アーケリデスキー体値をとる遷移測度を有する確率過程を定義・考察し、既存の文献におけるギャップを埋めること。
• 有限次元分布から確率過程を構成するための非アーケリデスキー版コルモゴロフの定理の非アーケリデスキー類似形を証明すること。
• マルコフおよびポアソン過程の非アーケリデスキー類似形を研究し、それらに付随する測度および特性関数を検討すること。
• 非アーケリデスキー確率空間への古典的結果の拡張として、ポアソン過程に対する非アーケリデスキー版リーヴィの定理を確立すること。

提案手法

• 完全な非アーケリデスキー体値をとる、被覆環上の$p$-進および非アーケリデスキー確率測度を定義し、加法性、有界性、連続性の条件を満たすようにする。
• 縮小族の概念を導入し、極限構造を用いて非アーケリデスキー測度論における収束性および可積分性を定義する。
• $\mu$-可積分関数を構成し、$\mu$-ノルムおよび$\phi$-重み付き上界を用いて$\mu$-可積分関数のバナッハ空間$L(\mu)$を定義する。
• 非アーケリデスキー円柱分布を定義し、マルコフ型過程における有界性・無限大性の性質を証明する。
• 指数関数$Exp$および$EXP$の局所解析的拡張を用いて、非アーケリデスキー設定における特性関数およびモーメント母関数を定義する。
• ステップ関数近似および分割$\cal Z$に関する極限を用いて、ポアソン測度$n(dl)$に関する確率積分を通じてポアソン過程を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーケリデスキー位相線型空間に値をとる確率過程を、非アーケリデスキー体値においてどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 有限次元分布から確率過程を構成するための非アーケリデスキー版コルモゴロフの定理の非アーケリデスキー類似形は何か？
• RQ3 非アーケリデスキー版のマルコフおよびポアソン過程は、それらの古典的類似形と構造的および測度論的性質においてどのように異なるか？
• RQ4 非アーケリデスキー体値測度を有するポアソン過程に対して、非アーケリデスキー版のリーヴィの定理を証明できるか？
• RQ5 非アーケリデスキー関数解析における線形順序の欠如および不定積分の不在が、確率過程の構成に与える影響は何か？

主な発見

• 非アーケリデスキー版コルモゴロフの定理が証明され、非アーケリデスキー空間上の一致する有限次元分布から確率過程を構成可能であることが保証された。
• 非アーケリデスキー版マルコフ過程は円柱分布を用いて定義され、その有界性および無限大性は命題3.3.1および3.3.2で特徴づけられた。
• 非アーケリデスキー版リーヴィの定理が確立され、ポアソン過程の特性関数が$\psi(\rho) = \rho m_0 + \int_{\bf K} [1 - EXP(-\rho l)] n(dl)$を満たし、$n$がポアソン測度であることが示された。
• 時間パラメータが$p$-進数または一般の群（アデールおよびイデールを含む）にとられる確率過程が構成され、その存在が定理4.3で証明された。
• 非アーケリデスキー測度を用いて広範な確率過程のクラスを構成し、ポアソン型のモーメント構造を有する解$\xi(t,\omega) = t m_0 + \int_{\bf K} l \mathcal{\eta}(t,dl,\omega)$の存在を証明した。
• 分割$\cal Z$に関する特性関数の極限は$M_t[EXP(-\rho \xi(t,\omega))] = EXP(-\rho t m_0) \cdot EXP\left(-\rho t \int_{\bf K} (1 - EXP(-\rho l)) n(dl)\right)$を満たし、確率過程の構造が裏付けられた。