[論文レビュー] Stochastic Reaction-Diffusion Processes, Operator Algebras and Integrable Quantum Spin Chains

Gunter M. Schütz|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 1996

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、バーティ・アンザッツと類似性変換を用いて粒子の運動を量子ハミルトニアンに写像することにより、確率的反応拡散過程と可積分な量子スピン模型の間の深い関係を確立する。また、マスター方程式を解くために二次関係を持つ新規な演算子代数を導入し、開放境界を持つ対称的排他過程および非対角境界場を有する等スピンヘイゼンベルクフェロ磁性体に対して正確な結果を得る。

ABSTRACT

We show that the stochastic dynamics of a large class of one-dimensional interacting particle systems may be presented by integrable quantum spin Hamiltonians. Using the Bethe ansatz and similarity transformations this yields new exact results. In a complementary approach we generalize previous work and present a new description of these and other processes and the related quantum chains in terms of an operator algebra with quadratic relations. The full solution of the master equation of the process is thus turned into the problem of finding representations of this algebra. We find a two-dimensional time-dependent representation of the algebra for the symmetric exclusion process with open boundary conditions. We obtain new results on the dynamics of this system and on the eigenvectors and eigenvalues of the corresponding quantum spin chain, which is the isotropic Heisenberg ferromagnet with non-diagonal boundary fields.

研究の動機と目的

• 確率的相互作用粒子系と可積分な量子スピンハミルトニアンの間の対応関係を確立すること。
• 二次関係を持つ演算子代数を用いてマスター方程式を表現することにより、確率過程のマスター方程式を解くこと。
• この代数的枠組みを用いて、開放境界条件を満たす対称的排他過程の正確な解を導出すること。
• 特に非対角境界場を有する等スピンヘイゼンベルクフェロ磁性体の固有状態および固有値を分析すること。

提案手法

• 粒子の運動から導かれる確率的ハミルトニアンの固有値問題を、バーティ・アンザッツを用いて解く。
• 類似性変換を適用して、既知の可積分構造を持つ量子スピン模型に確率的過程を写像する。
• 時間に依存する2次元表現を用いて、二次関係を持つ演算子代数の動的記述を構築する。
• マスター方程式を符号化する代数の表現を構築する。
• 代数的構造を用いて、マスター方程式の解法を代数の表現を見つける問題に還元する。
• この形式を、開放境界を持つ対称的排他過程に適用し、その動的およびスペクトル的性質に関する新しい正確な結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的反応拡散過程を、可積分な量子スピン模型に体系的に写像することは可能か？
• RQ2 マスター方程式を、二次関係を持つ演算子代数を用いてどのように再定式化できるか？
• RQ3 開放境界条件を満たす対称的排他過程に対応する量子スピン模型の正確な固有状態および固有値は何か？
• RQ4 非対角境界場の導入が、量子スピン模型の可積分性および解構造にどのように影響するか？
• RQ5 時間に依存する演算子代数の表現を構築し、系の完全な時間発展を記述することは可能か？

主な発見

• 1次元の相互作用粒子系の広いクラスの確率的ダイナミクスが、可積分な量子スピンハミルトニアンと等価であることが示された。
• バーティ・アンザッツと類似性変換の使用により、これらの系のダイナミクスに関する新しい正確な結果が得られた。
• 開放境界条件を満たす対称的排他過程に対して、時間に依存する2次元表現の演算子代数が構築された。
• 非対角境界場を有する等スピンヘイゼンベルクフェロ磁性体の固有状態および固有値が、この代数的アプローチによって得られた。
• マスター方程式の完全な解法が、導入された演算子代数の表現を見つける問題に還元され、確率過程のための新しい代数的枠組みが提供された。
• 対称的排他過程のダイナミクス、特にその時間発展およびスペクトル的性質に関する新しい正確な結果が導出された。