[論文レビュー] Stopped diffusion processes: Overshoots and Boundary correction

Emmanuel Gobet, Stéphane Menozzi|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する領域における離散的に停止する拡散過程の抜出し時刻、抜出し位置、およびオーバーシュートに関する漸近展開を導出する。これらの展開を用いて弱誤差を分析し、ドメイン変更に対するディリクレ問題の感度を活用することで、数値スキームの収束速度を向上させるドメイン制限手法を提案する。

ABSTRACT

For a stopped diffusion process in a time dependent domain, we obtain the asymptotics of the triplet exit time/exit position/overshoot for the discretely stopped Euler scheme. Here, the overshoot means the distance to the boundary of the process when it exits the domain. As a first consequence of this result, we obtain an expansion for the weak error. From the expansion and the sensitivity of the underlying Dirichlet problem with respect to the domain, we finally derive a procedure to improve the convergence by suitably restraining the domain.

研究の動機と目的

• 時間に依存する領域における離散的に停止する拡散過程の抜出し時刻、抜出し位置、およびオーバーシュートの漸近的挙動を分析すること。
• 時間に依存する領域におけるオイラースキームの弱誤差展開を導出すること。
• ドメイン摂動に対するディリクレ問題の感度を活用して誤差補正を行うこと。
• 数値スキームの収束速度を向上させるドメイン制限手順を開発すること。

提案手法

• 停止拡散過程のオイラースキームにおける、抜出し時刻、抜出し位置、およびオーバーシュートの三つ組みの漸近展開を導出する。
• 弱誤差展開を用いて、時間に依存する領域における離散化誤差を定量化する。
• ドメインの変化に対するディリクレ問題の解の感度を分析する。
• 感度解析に基づいて、適切にドメインを制限することで補正機構を構築する。
• ドメイン制限を適用して弱誤差を低減し、収束順序を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する領域における離散的に停止するオイラースキームの下で、抜出し時刻、抜出し位置、およびオーバーシュートはどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 この文脈におけるオイラースキームの弱誤差展開の構造は何か？
• RQ3 ドメインの微小な摂動に対して、ディリクレ問題の解はどのように応答するか？
• RQ4 ドメイン制限を用いて弱誤差を補正し、収束を向上させることは可能か？

主な発見

• オーバーシュート、抜出し時刻、および抜出し位置は、停止拡散過程のオイラースキームにおいて、明確な漸近展開を示す。
• オイラースキームの弱誤差は、ドメインの幾何学的性質および時間依存性に依存する明確な展開を持つ。
• ディリクレ問題のドメイン変更に対する感度は、誤差補正の定量的根拠を提供する。
• 数値スキームの収束速度を向上させるドメイン制限手順が導出された。