[論文レビュー] Stopping times are hitting times: a natural representation

Tom Fischer|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、値が 0 と 1 のみをとり、非増加で適応的である c𝐵d𝐵𝐵過程と停止時刻の間の一対一対応を確立する。すべての停止時刻が、このような過程による {0} の hitting 時刻として本質的に表現できることを示し、停止時刻を二値の「交通標識」過程が 1 から 0 に遷移する最初の時刻として自然で直感的な表現を与える。

ABSTRACT

There exists a simple, didactically useful one-to-one relationship between stopping times and adapted càglàd (LCRL) processes that are non-increasing and take the values 0 and 1 only. As a consequence, stopping times are always hitting times.

研究の動機と目的

• 停止時刻をボレル集合の hitting 時刻として自然で直感的な表現を確立すること。
• すべての停止時刻が、特定のクラスの適応的確率過程による {0} の最初の hitting 時刻として生じることを示すこと。
• 停止時刻と {0,1} に値をとり、時間とともに非増加で適応的な c𝐵d𝐵𝐵過程との間の全単射対応を確立すること。
• 標準的な停止時刻の定義の代わりに、構造的類似性を強調する「ランダムな交通標識」としての直感的で教育的価値の高い代替定義を提供すること。

提案手法

• 停止過程を、{0,1} に値をとり、適応的で右連続かつ左極限を持つ非増加過程として定義する。
• 各過程 X に対して、τ^X(ω) = min{t ∈ T : X_t(ω) = 0}（ただし、すべての t で X_t(ω) = 1 の場合）または ∞ として、停止時刻への写像 τ^X を構成する。
• 停止時刻 τ から、X^τ_t = 1_{τ > t} で定義される過程 X^τ を定義する。これは τ より前は 1、τ 以降は 0 となる。
• τ^X^τ = τ および X^τ^X = X が成り立つことを証明し、停止過程と停止時刻との間の全単射を確立する。
• c𝐵d𝐵𝐵性を活用して、各パスに対して τ^X の最小値が存在することを保証する。
• 適応性と {τ ≤ t} の補集合を用いて、τ^X が停止時刻の条件 {τ^X ≤ t} ∈ F_t を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての停止時刻は、適応的確率過程によるボレル集合の最初の hitting 時刻として表現可能か？
• RQ2 停止時刻の hitting 機序によって自然に表現される、標準的で直感的な確率過程のクラスは存在するか？
• RQ3 停止時刻と、特定のクラスの適応的、c𝐵d𝐵𝐵、{0,1} に値をとり、非増加な過程との間で全単射対応を確立できるか？
• RQ4 標準的な停止時刻の定義は、「ランダムな交通標識」が赤に変わるときの時刻として自然に解釈可能か？

主な発見

• すべての停止時刻 τ は、X^τ_t = 1_{τ > t} で定義される過程 X^τ による {0} の hitting 時刻として表現可能であり、この過程は適応的で、c𝐵d𝐵𝐵で非増加的で、値は {0,1} に属する。
• 写像 f: X ↦ τ^X は、停止過程と停止時刻との間の全単射であり、その逆写像は f^{-1}: τ ↦ X^τ である。
• 過程 X^τ は c𝐵d𝐵𝐵である。なぜなら、lim_{t↓τ(ω)} X^τ_t(ω) = 0 = X^τ_τ(ω) が成り立ち、右連続かつ左極限を持つからである。
• 停止時刻 τ^X は、c𝐵d𝐵𝐵性のおかげで、各パスに対して X_t = 0 となる最小時刻 t が存在することを保証するため、well-defined である。
• 表現 τ^X = min{t ∈ T : X_t = 0}（恒等的に 1 でない場合）、または ∞（そうでない場合）は、停止時刻の自然で直感的な解釈を提供する。
• 同値な過程や停止時刻を同一視しないとしても、この結果は成り立つが、そのような同一視は可能である。