[論文レビュー] Streaming Approximation Resistance of Every Ordering CSP

Noah Singer, Madhu Sudan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、単一パスストリーミングモデルにおいて、すべての順序制約充足問題（OCSP）が近似困難であることを確立している：どの o(n)-空間アルゴリズムでも、ほとんどすべての制約が充足可能なインスタンスと、ランダムな順序よりも著しく優れた順序が存在しないインスタンスを区別できない。この結果は、OCSPから導かれる標準CSPのハードインスタンスに新たな分割拡張性という性質を導入し、ストリーミング近似困難性を通信複雑度問題（IRMD）に還元することで証明されている。

ABSTRACT

An ordering constraint satisfaction problem (OCSP) is given by a positive integer k and a constraint predicate Π mapping permutations on {1,…,k} to {0,1}. Given an instance of OCSP(Π) on n variables and m constraints, the goal is to find an ordering of the n variables that maximizes the number of constraints that are satisfied, where a constraint specifies a sequence of k distinct variables and the constraint is satisfied by an ordering on the n variables if the ordering induced on the k variables in the constraint satisfies Π. Ordering constraint satisfaction problems capture natural problems including "Maximum acyclic subgraph (MAS)" and "Betweenness". In this work we consider the task of approximating the maximum number of satisfiable constraints in the (single-pass) streaming setting, where an instance is presented as a stream of constraints. We show that for every Π, OCSP(Π) is approximation-resistant to o(n)-space streaming algorithms, i.e., algorithms using o(n) space cannot distinguish streams where almost every constraint is satisfiable from streams where no ordering beats the random ordering by a noticeable amount. This space bound is tight up to polylogarithmic factors. In the case of MAS our result shows that for every ε > 0, MAS is not 1/2+ε-approximable in o(n) space. The previous best inapproximability result only ruled out a 3/4-approximation in o(√ n) space. Our results build on recent works of Chou, Golovnev, Sudan, Velingker, and Velusamy who show tight, linear-space inapproximability results for a broad class of (non-ordering) constraint satisfaction problems (CSPs) over arbitrary (finite) alphabets. Our results are obtained by building a family of appropriate CSPs (one for every q) from any given OCSP, and applying their work to this family of CSPs. To convert the resulting hardness results for CSPs back to our OCSP, we show that the hard instances from this earlier work have the following "small-set expansion" property: If the CSP instance is viewed as a hypergraph in the natural way, then for every partition of the hypergraph into small blocks most of the hyperedges are incident on vertices from distinct blocks. By exploiting this combinatorial property, in combination with the hardness results of the resulting families of CSPs, we give optimal inapproximability results for all OCSPs.

研究の動機と目的

• すべての順序CSP（OCSP）におけるストリーミング近似困難性を確立すること。特に最大無閉路部分グラフ（MAS）や最大バターンスを含む。
• 既知の o(√n)-空間近似困難性結果と、OCSPにおける予想される最良の o(n)-空間境界とのギャップを埋めること。
• すべてのOCSPファミリー F に対して、o(n)-空間ストリーミングアルゴリズムが非自明な近似比を達成できないことを示すこと。
• 標準CSPからの近似困難性をOCSPに移す一般枠組みを構築すること。そのために新規の分割拡張性という性質を導入する。
• o(n) 空間境界が多項対数因子の範囲でタイトであることを証明し、MASに関する長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• OCSPのストリーミング近似困難性を、インデックス反転メッセージパッシング（IRMD）問題の通信複雑度に還元する。
• 任意の与えられたOCSPから、アルファベットサイズ q ごとに標準CSPの族を構築し、還元によってハードネスを保持する。
• 先行の標準CSP近似困難性定理（CGSV24, CGS+22b）から得られるハードインスタンスが、高い確率で「分割拡張性」を満たすことを証明する。
• 分割拡張性を用いて、変数の任意の小さな分割に対して、大多数の制約が異なるブロックを跨ぐことを保証し、有効なストリーミングシミュレーションを可能にする。
• 各プレイヤーが制約の部分集合を処理し、アルゴリズムの状態を転送することで、T人プレイヤー通信プロトコル上でストリーミングアルゴリズムをシミュレートする。
• ストリーミング設定におけるYESとNOの分布がIRMDの分布と一致することを示し、それらを区別する優位性が保持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての順序CSPは、単一パスストリーミングモデルにおいて o(n) 空間で近似不能であると示せるか？
• RQ2 o(n) 空間境界は、ストリーミング近似におけるOCSPの最良の境界として、多項対数因子の範囲でタイトか？
• RQ3 標準CSPの近似困難性は、分割拡張性のような構造的性質を用いてOCSPに持ち上げられるか？
• RQ4 インデックス反転メッセージパッシング（IRMD）問題は、十分に強い通信複雑度下界を提供するか、それによってストリーミング近似困難性が導かれるか？
• RQ5 最大無閉路部分グラフ（MAS）の困難性は、o(√n) 空間で 3/4-近似の壁を超えて拡張可能か？

主な発見

• すべての順序CSPファミリー F に対して、Max-OCSP(F) は o(n)-空間ストリーミングアルゴリズムに対して近似抵抗的である。
• o(n) 空間境界は多項対数因子の範囲でタイトであり、MAS に対しては (1/2 + ε)-近似も o(n)-空間アルゴリズムでは達成できない。
• GuruswamiとTao（2019）の o(√n)-空間近似困難性結果（3/4-近似を除外）を改善し、MAS に対してより強い下界を確立した。
• 主な技術的洞察は、OCSPから導かれる標準CSPのハードインスタンスが、高い確率で「分割拡張性」という性質を示すことにある。
• この分割拡張性により、制約が小さなブロックに均等に分散され、ストリーミングアルゴリズムを通信複雑度プロトコル上で正当にシミュレート可能になる。
• IRMD問題を介したストリーミングから通信複雑度への還元により、s(n) ≤ τn ビットの通信量で 1/8 の優位性を持つプロトコルが得られるが、s(n) = o(n) の場合、既知の通信下界に矛盾する。