[論文レビュー] Strict monotonicity properties in one-dimensional excited random walks

Jonathon Peterson|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、クッキー環境のホルムズ＝サルフィー境界順序における1次元の目覚めランダムウォークの極限速度および生存確率の厳密な単調性を確立する。関連する後向き分岐過程のカップリングを構築することで、環境 $\vec{p} \prec \vec{q}$ ならば、極限速度 $v(\vec{p}) < v(\vec{q})$ および原点に戻らない確率が厳密に増加することを証明し、以前の弱単調性の結果を改善する。

ABSTRACT

We consider one-dimensional excited random walks with finitely many cookies at each site. There are certain natural monotonicity results that are known for the excited random walk under some partial orderings of the cookie environments. We improve these monotonicity results to be strictly monotone under a partial ordering of cookie environments introduced by Holmes and Salisbury. While the self-interacting nature of the excited random walk makes a direct coupling proof difficult, we show that there is a very natural coupling of the associated branching process from which the monotonicity results follow.

研究の動機と目的

• クッキー環境の精密な部分順序の下で、1次元の目覚めランダムウォークにおける極限速度および生存確率の厳密単調性を確立すること。
• 既知の弱単調性結果（例：$\vec{p} \leq \vec{q}$ ならば $v(\vec{p}) \leq v(\vec{q})$）を、ホルムズ＝サルフィー順序 $\prec$ の下で厳密不等式を示すことで改善すること。
• 環境が $\prec$ の意味で厳密に増加された場合に単調性が厳密であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 確率的優位性を保ち、不変測度の比較を可能にする後向き分岐過程に基づくカップリング手法を開発すること。

提案手法

• クッキー環境におけるホルムズ＝サルフィー部分順序 $\prec$ を、累積和優位性を示す i.i.d. ベルヌーイ列のカップリングによって定義する。
• $\vec{p} \prec \vec{q}$ である環境 $\vec{p}$ および $\vec{q}$ に対して、後向き分岐過程をカップリングし、すべての $i$ に対して $Z_i \geq Z_i'$ がほとんど確実に成り立つようにする。
• 正再帰的マルコフ連鎖のエルゴード定理を用いて、極限速度 $v(\vec{p})$ を分岐過程の不変測度の期待値 $E_{\vec{p}}^\infty[Z_0]$ に関連付ける。
• カップリングの議論を適用して、$P_{\vec{p},\vec{q}}^\infty(Z_0 > Z_0') > 0$ を示し、$\delta(\vec{p}) > 2$ のとき $E_{\vec{p}}^\infty[Z_0] > E_{\vec{q}}^\infty[Z_0]$ を導く。
• 分岐過程の表現から、$v(\vec{p}) = \frac{1}{1 + 2E_{\vec{p}}^\infty[Z_0]}$ という公式を導出し、速度と不変測度の関係を明示する。
• カップリングと不変測度の比較を組み合わせることで、厳密単調性を証明する：$\vec{p} \prec \vec{q}$ ならば $v(\vec{p}) < v(\vec{q})$ および $P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n) < P_{\vec{q}}(X_n > 0 \, \forall n)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クッキー環境 $\vec{p}$ がホルムズ＝サルフィー部分順序 $\prec$ で増加した場合、極限速度 $v(\vec{p})$ は厳密に増加するか？
• RQ2 同様の順序の下で、生存確率 $P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n)$ は厳密に増加するか？
• RQ3 自己相互作用性のため、歩行経路の直接カップリングが不可能な目覚めランダムウォークにおいても、厳密単調性を確立できるか？
• RQ4 関連する後向き分岐過程の不変測度と目覚めランダムウォークの極限速度との関係は何か？
• RQ5 累積和優位性を示すベルヌーイ列のカップリングは、関連する分岐過程の確率的優位性にどのように対応するか？

主な発見

• ホルムズ＝サルフィー順序の下で、極限速度 $v(\vec{p})$ は $\vec{p}$ に関して厳密に単調増加する：$\vec{p} \prec \vec{q}$ ならば $v(\vec{p}) < v(\vec{q})$。
• 原点に戻らない確率 $P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n)$ は $\prec$ 順序の下で厳密に増加する。
• 証明は、$\vec{p}$ および $\vec{q}$ に関連する後向き分岐過程のカップリングに依存しており、$Z_i \geq Z_i'$ がほとんど確実に成り立ち、$P_{\vec{p},\vec{q}}^\infty(Z_0 > Z_0') > 0$ が成り立つ。
• $\vec{p} \prec \vec{q}$ かつ $\delta(\vec{p}) > 2$ のとき、後向き分岐過程の不変測度 $P_{\vec{p}}^\infty$ に対して $E_{\vec{p}}^\infty[Z_0] > E_{\vec{q}}^\infty[Z_0]$ が成り立ち、これが速度の厳密増加を示唆する。
• 公式 $v(\vec{p}) = \frac{1}{1 + 2E_{\vec{p}}^\infty[Z_0]}$ は、$\delta(\vec{p}) \in (1,2]$ のときでさえ成り立ち、$v(\vec{p}) = 0$ となるが、厳密単調性の結果を導出するのにも使用される。
• カップリング手法は、目覚めランダムウォークの自己相互作用性の挑戦を、分岐過程の表現を通じて間接的に克服した。