[論文レビュー] Strict volume-minimizing properties for Lagrangian submanifolds in complex manifolds with positive canonical bundle

Edward Goldstein|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の正則バンドルを備えたケーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体の厳密な体積最小性を調査し、古典的な測地線長の最小化を高次元ラグランジュ部分多様体へと拡張する。局所的体積最小性の結果を確立し、特異的除集合の外で弱いグローバル最小化を証明し、自己被覆な最小ラグランジュ部分多様体に対してグローバル体積最小化が成立しない反例を提示する。

ABSTRACT

Abstract. It is classically known that closed geodesics on a Riemann surface with a metric of negative curvature strictly minimize length in their free homotopy class. We’d like to generalize this to Lagrangian submanifolds in Kahler manifolds of negative Ricci curvature. The only known result in this direction is a theorem on Y.I. Lee (see [Lee]) for certain Lagrangian submanifolds in a product of two Riemann surfaces of the same negative curvature. We develop an approach to study this problem in higher dimensions. Along the way we prove some weak results (volume-minimization outside of a divisor) and give a counterexample to global volume-minimizing for an immersed minimal Lagrangian submanifold. 1. Local theory In this section we’ll present the local volume-minimizing properties for minimal Lagrangian submanifolds in Kähler manifolds with positive canonical bundle. Strictly speaking the rest of the paper does not logically depend on this section and this section serves as a motivation for the global problem.

研究の動機と目的

• 負の曲率をもつリーマン面上の閉測地線が長さを最小化するという古典的結果を、高次元ラグランジュ部分多様体へ一般化すること。
• 負のリッチ曲率をもつケーラー多様体における最小ラグランジュ部分多様体が、自由ホモトピー類内で体積を厳密に最小化するかどうかを調査すること。
• リーのリーマン面の積に関する既知の結果を超えて、高次元における体積最小化を研究するための枠組みを構築すること。
• 除集合の外で弱体積最小化の結果を確立し、グローバル体積最小化の失敗を分析すること。

提案手法

• 正の正則バンドルを備えたケーラー多様体における最小ラグランジュ部分多様体の局所理論を構築する。
• 複素幾何学およびケーラー微分幾何学の技法を用いて、ラグランジュ部分多様体の近傍における体積変動を分析する。
• 正の正則バンドルを用いて、体積関数への曲率および曲率微分形式の制御を行う。
• 自己被覆な最小ラグランジュ部分多様体を考察することで、グローバル体積最小化の反例を構成する。
• 除集合の補集合における体積最小化の挙動を分析し、この設定で弱最小化の結果を証明する。
• ケーラー計量および全純体積形式の構造に依存して、体積変動の比較推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の正則バンドルを備えたケーラー多様体における最小ラグランジュ部分多様体は、自由ホモトピー類内で体積を厳密に最小化すると言えるか？
• RQ2 局所的体積最小性の性質は、どの程度グローバル体積最小化へと拡張可能か？
• RQ3 このような多様体における自己被覆な最小ラグランジュ部分多様体に対して、グローバル体積最小化の障害は存在するか？
• RQ4 除集合の存在が体積最小化性にどのように影響するか？
• RQ5 正の正則バンドルの性質が、体積最小化の実現または阻害に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、正の正則バンドルを備えたケーラー多様体における最小ラグランジュ部分多様体の局所的体積最小性を確立した。
• 除集合の外で弱体積最小化の結果を証明し、体積最小化が制限的だが自然な幾何的設定で成立することを示した。
• 自己被覆な最小ラグランジュ部分多様体が体積を最小化しない反例を構成した。
• 反例は、最小ラグランジュ部分多様体ですら自由ホモトピー類内で体積を最小化しない可能性があることを示し、測地線の場合への直接の一般化を疑問視させる。
• 結果から、グローバル体積最小性は曲率条件だけでなく、トポロジーおよび自己被覆の性質に敏感であることが示唆された。
• 解析により、正の正則バンドルが局所的体積最小化を可能にする重要な構造的条件であることが確認されたが、グローバル最小化には十分でないことが分かった。