[논문 리뷰] Strong and weak convergence in the averaging principle for SDEs with Hölder coefficients

Michael Röckner, Xiaobin Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 Zvonkin의 변환과 포아송 방정식을 사용하여 시간에 의존하는 허더 연속 계수를 갖는 확률미분방정식에 대한 평균화 원리를 수립한다. 강한 수준에서 수렴 속도가 $(\alpha \wedge 1)/2$이고, 약한 수준에서 $(\alpha/2) \wedge 1$임을 증명하며, 수렴 속도가 빠른 성분의 계수보다 느린 성분의 계수의 정(regularity)에만 의존한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Using Zvonkin's transform and the Poisson equation in $R^d$ with a parameter, we prove the averaging principle for stochastic differential equations with time-dependent Hölder continuous coefficients. Sharp convergence rates with order $(α\wedge1)/2$ in the strong sense and $(α/2)\wedge1$ in the weak sense are obtained, considerably extending the existing results in the literature. Moreover, we prove that the convergence of the multi-scale system to the effective equation depends only on the regularity of the coefficients of the equation for the slow variable, and does not depend on the regularity of the coefficients of the equation for the fast component.

연구 동기 및 목표

• 기존의 리프시츠 조건을 초월하여 시간에 의존하는 허더 연속 계수를 갖는 다중 스케일 SDE에 대한 평균화 원리를 수립하기.
• 모든 $\varepsilon \to 0$에서의 강한 수렴과 약한 수렴에 대해 정밀한 수렴 속도를 도출하기.
• 수렴 속도가 느린 성분의 계수의 정(regularity)에만 의존하고 빠른 성분의 계수의 정에 영향을 받지 않는다는 것을 보여주기.
• 낮은 정(regularity)을 갖는 계수를 다루기 위해 Zvonkin의 변환과 매개수를 가진 포아송 방정식을 사용하여 엄밀한 확률적 프레임워크를 제공하기.
• 특히 드리프트 및 확산 계수에 대해 전역 리프시츠 연속성 조건이 필요 없도록 기존 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 매개수를 가진 $\mathbb{R}^d$에서의 포아송 방정식을 위한 적절한 시험 함수를 구성하기 위해 SDE를 정규화하고 Zvonkin의 변환을 활용한다.
• 매개수를 가진 포아송 방정식을 적용하여 느린 성분 $X_t^\varepsilon$의 섭동 전개를 유도하고 오차 추정을 가능하게 한다.
• 근사 함수의 수열 $\tilde{\Psi}_n$에 대해 이토의 공식을 적용하여 오차를 $\tilde{\mathscr{Q}}_1$, $\tilde{\mathscr{Q}}_2$, $\tilde{\mathscr{Q}}_3$의 세 항으로 분해하고, 각 항을 허더 연속성으로 유계화한다.
• Krylov의 추정과 체비세프 부등식을 사용하여 $\psi$와 그 근사 $\psi_n$ 간의 차이의 $L^p$-노름을 제어함으로써 약한 수렴을 보장한다.
• 코모고로프 방정식의 해에 대한 확률적 표현을 적용하여 $\varphi(Y_T^\varepsilon)$의 기대값과 효과적 동역학 $\bar{Y}_T$를 연결한다.
• 오차 항들을 균형 잡기 위해 매개수 $n = \varepsilon^{-1/2}$를 최적화하여 약한 수렴에서 정밀한 수렴 속도 $\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 리프시츠 연속성 조건 없이, 시간에 의존하는 계수가 오직 허더 연속일 경우 SDE에 대한 평균화 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 허더 연속성 조건 하에서 강한 수렴과 약한 수렴에 대해 정밀한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 느린 성분이 효과적 방정식으로 수렴할 때의 수렴 속도가 빠른 성분의 계수의 정에 의존하는가?
• RQ4 Zvonkin의 변환과 매개수를 가진 포아송 방정식이 다중 스케일 SDE에서 낮은 정(regularity)을 갖는 계수를 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ5 시험 함수 $\varphi$가 부드럽지 않고 오직 연속일 경우 약한 수렴은 어떻게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 시간에 의존하는 허더 연속 계수를 갖는 SDE에 대해 강한 수렴 속도 $(\alpha \wedge 1)/2$를 증명하며, 여기서 $\alpha \in (0,1)$은 허더 지수이다.
• 약한 수렴의 경우, $(\alpha/2) \wedge 1$의 정밀한 수렴 속도를 확립하였으며, 기존 결과들에 비해 명시적인 수렴 속도가 없었던 점을 개선한다.
• 수렴 속도는 느린 성분의 계수의 정에만 의존하며, 빠른 성분의 계수의 정과는 무관하다.
• Zvonkin의 변환과 매개수를 가진 포아송 방정식의 사용은 최소한의 미분 가능성 조건 하에서도 오차 추정을 가능하게 한다.
• 연속 유계 시험 함수 $\varphi$에 대해 $C_b^3$ 함수로 근사하고 Krylov의 추정을 활용하여 약한 수렴을 확립한다.
• 최적의 선택 $n = \varepsilon^{-1/2}$가 오차 항들을 균형 잡고, 최종적으로 약한 수렴 추정에서 수렴 속도 $\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$를 이끌어낸다.