[논문 리뷰] Strong convergence of an adaptive time-stepping Milstein method for SDEs with one-sided Lipschitz drift.

Cónall Kelly, Gabriel J. Lord외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 한쪽 Lipschitz 조건을 만족하는 확산 항이 전역적으로 Lipschitz 조건을 만족하는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 경로에 따라 제한된 시간스텝을 사용하는 적응형 명시적 밀스타인 방법을 제안한다. 이 방법은 단계 크기를 동적으로 조정하여 불안정성을 방지한다. 강한 $L_2$ 수렴 차수 1을 달성하며, 백스톱 방법의 사용 빈도가 매우 낮다. 수치 실험 결과 고정 단계 크기 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

We introduce explicit adaptive Milstein methods for stochastic differential equations with one-sided Lipschitz drift and globally Lipschitz diffusion with no commutativity condition. These methods rely on a class of path-bounded timestepping strategies which work by reducing the stepsize as solutions approach the boundary of a sphere, invoking a backstop method in the event that the timestep becomes too small. We prove that such schemes are strongly $L_2$ convergent of order one. This convergence order is inherited by an explicit adaptive Euler-Maruyama scheme in the additive noise case. Moreover we show that the probability of using the backstop method at any step can be made arbitrarily small. We compare our method to other fixed-step Milstein variants on a range of test problems.

연구 동기 및 목표

• 표준 고정 단계 크기 방법이 실패할 수 있는 한쪽 Lipschitz 조건을 만족하는 드리프트와 전역적으로 Lipschitz 조건을 만족하는 확산 항을 가진 SDEs에 대해 안정적이고 명시적인 시간스텝 방법을 개발한다.
• 확산 계수에 대한 교환 조건이 없더라도 최소한의 가정으로 강한 $L_2$ 수렴 차수 1을 확보한다.
• 해의 경로가 경계에 가까워질수록 단계 크기를 줄이는 경로 기반 시간스텝 전략을 설계하여 안정성을 유지한다.
• 백스톱 방법의 사용에 대한 의존도를 최소화하기 위해 그 활성화 확률을 임의로 작은 수준으로 제어한다.
• 기본 테스트 문제에 대해 적응형 밀스타인 방법을 고정 단계 크기 밀스타인 및 유도-마루야마 방법과 실증적으로 비교한다.

제안 방법

• 해의 경로가 구의 경계에 가까워질수록 단계 크기를 줄이는 적응형 시간스텝 전략을 사용하여 경로에 따라 유한성을 보장한다.
• 시간스텝이 너무 작아지면 백스톱 방법이 활성화되며, 그 사용 확률은 임의로 작게 제어된다.
• 명시적 밀스타인 이산화 기반으로, 확산 계수의 교환 조건이 필요 없도록 확장된 방법이다.
• 수렴 분석은 局부 절단 오차를 제한하고 적응형 단계 크기 규칙을 통해 해 경로의 성장률을 통제하는 데 기반한다.
• 드리프트가 한쪽 Lipschitz 조건만 만족하더라도, 추가 노이즈의 경우 기저의 밀스타인 방법에서 유도된 강한 차수 1 수렴 특성을 그대로 유지한다.
• 경로 기반 제한 전략은 수치적 해가 컴act 영역 내에 머무르게 하여 안정성 및 수렴 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한쪽 Lipschitz 조건을 만족하는 드리프트와 전역적으로 Lipschitz 조건을 만족하는 확산 항을 가진 SDEs에 대해 명시적 적응형 밀스타인 방법이 강한 $L_2$ 수렴 차수 1을 달성할 수 있는가?
• RQ2 확산 계수의 교환 조건이 없더라도 안정성을 유지할 수 있도록 적응형 시간스텝을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 백스톱 방법이 활성화될 확률은 얼마이며, 실질적으로 임의로 작은 수준으로 줄일 수 있는가?
• RQ4 적응형 밀스타인 방법은 고정 단계 크기 밀스타인 및 유도-마루야마 방법과 비교해 정확도와 안정성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 추가 노이즈의 경우 적응형 전략이 차수 1 수렴 속도를 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 적응형 밀스타인 방법은 한쪽 Lipschitz 조건을 만족하는 드리프트와 전역적으로 Lipschitz 조건을 만족하는 확산 항을 가진 SDEs에 대해 강한 $L_2$ 수렴 차수 1을 달성한다.
• 경로 기반 시간스텝 전략을 적절히 설계함으로써, 어떤 단계에서든 백스톱 방법을 사용할 확률을 임의로 작은 수준으로 줄일 수 있다.
• 적응형 유도-마루야마 방법은 추가 노이즈의 경우 차수 1 강한 수렴 속도를 그대로 유지하며, 적용 범위를 넓힌다.
• 수치 실험 결과, 다양한 테스트 문제에서 고정 단계 크기 밀스타인 방법 대비 뛰어난 안정성과 정확도를 보였다.
• 확산 계수에 대한 교환 조건이 없더라도 방법이 효과적으로 유지되며, 실용적 적용 범위가 넓어진다.
• 경로 기반 시간스텝 전략은 폭발을 효과적으로 방지하고 고변동성 영역에서도 수치적 안정성을 유지한다.