[論文レビュー] Strong Marstrand theorems and dimensions of sets formed by subsets of hyperplanes

K. J. Falconer, Pertti Mattila|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、R^nにおけるm次元部分空間への射影に関して、Marstrandの射影定理の強化版を確立し、非最適な次元的挙動を示す例外的集合が、考慮される部分集合とは独立しており、Hausdorff測度がゼロであることを証明する。これらの結果を応用して、R^n内の集合E ⊂ R^nを通り、超平面の和集合の次元がmin{dim_H E + n − 1, n}であることを示し、dim_H E > 1のときには正のLebesgue測度を有することを示し、Keletiの線分および超平面に関する予想を一般化する。

ABSTRACT

We present strong versions of Marstrand's projection theorems and other related theorems. For example, if E is a plane set of positive and finite s-dimensional Hausdorff measure, there is a set X of directions of Lebesgue measure 0, such that the projection onto any line with direction outside X, of any subset F of E of positive s-dimensional measure, has Hausdorff dimension min(1,s), i.e. the set of exceptional directions is independent of F. Using duality this leads to results on the dimension of sets that intersect families of lines or hyperplanes in positive Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• 部分集合Fに依存しない例外的集合を有するMarstrandの射影定理の強化版を確立すること。
• 長さが正である超平面の部分集合へのKeletiの結果を一般化すること。
• 与えられた集合E ⊂ R^nを通る超平面の和集合の正確なHausdorff次元およびLebesgue測度を特定すること。
• 横断的条件の下で射影の族にこれらの結果を拡張し、例外的集合の次元を評価すること。

提案手法

• m-平面への直交射影における射影測度の挙動を分析するためのポテンシャル理論およびエネルギー積分の使用。
• 次元の挙動を制御するため、互いに交わらない可測集合上へのHausdorff測度の有限エネルギー測度への分解。
• 点と直線（または超平面）の双対性の応用により、射影定理と交差定理を関連付ける。
• Fubiniの定理およびm-平面へのグラフとしての超平面のパラメトライゼーションを用いて次元を低下させ、既知の射影結果を適用する。
• Fourier変換技術および射影密度のL^2バウンドを用いた証明により、s > mのとき、射影が絶対連続であり、正のLebesgue測度を有することを確立する。
• パラメトリックな家族におけるMarstrandの直線交差定理の応用により、像集合の次元を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eが正の有限のs次元Hausdorff測度を有する場合、Marstrandの射影定理における例外的集合が、Eの部分集合Fに依存しないようにできるか？
• RQ2 Borel集合E ⊂ R^nに対して、dim_H E = sであるとき、すべての超平面の和集合L(E)の正確なHausdorff次元は何か？
• RQ3 Eを通る超平面の和集合が正のn次元Lebesgue測度を有するのはどのような条件下か？
• RQ4 s ≤ mまたはs > mの場合、射影の例外的集合の次元はどのように振る舞うか？
• RQ5 m < n−1の場合、強力な射影定理をm-平面への射影に拡張できるか。その制限は何か？

主な発見

• 任意のH^s可測集合E ⊂ R^nに対して、0 < H^s(E) < ∞ かつ s = dim_H E > 0 であるとき、γ_{n,m}-測度がゼロである集合X ⊂ G_{n,m}が存在し、任意のH^s可測部分集合F ⊂ EでH^s(F) > 0を満たすものに対して、すべてのV ∈ G_{n,m} \ Xに対して、dim_H proj_V F = min{dim_H F, m}が成り立つ。
• s > mのとき、任意のこのようなFのV ∈ G_{n,m} \ Xへの射影は正のm次元Lebesgue測度を有する。すなわち、L^m(proj_V F) > 0である。
• 非最適な次元的挙動を示す射影の例外的集合XのHausdorff次元は、s ≤ mのときm(n−m−1) + s以下であり、s > mのときm(n−m)以下である。
• Borel集合E ⊂ R^nに対して、すべての超平面の和集合L(E)は、dim_H L(E) = min{dim_H E + n − 1, n}を満たす。
• dim_H E > 1のとき、L(E)は正のn次元Lebesgue測度を有する。すなわち、L^n(L(E)) > 0である。
• dim_H E > (m+1)(n−m)−mのとき、Eを通るm-平面の和集合はR^nにおいて正のLebesgue測度を有する。これはOberlinの結果を拡張する。