[論文レビュー] Strongly-Representable Operators

M. D. Voisei, Constantin Zălinescu|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Optimization and Variational Analysis被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、強い双対性および共役条件を満たす特定の凸関数のクラスに属する代表関数を備えた、強く代表可能な作用素—最大単調作用素の一種—を導入し、その分析を行う。主な貢献は、すべての強く代表可能な作用素が局所的に最大単調であり、ANA型であることを証明し、このような作用素のフィッツパトリック関数の共役が一般には代表関数でないことを示したことにより、単調作用素論における長年の未解決問題を解消したことにある。

ABSTRACT

Recently in [1] a new class of maximal monotone operators has been introduced. In this note we study domain range properties as well as connections with other classes and calculus rules for these operators we called strongly-representable. While not every maximal monotone operator is strongly-representable, every maximal monotone NI operator is strongly-representable, and every strongly representable operator is locally maximal monotone, maximal monotone locally, and ANA. As a consequence the conjugate of the Fitzpatrick function of a maximal monotone operator is not necessarily a representative function.

研究の動機と目的

• 強く代表可能な作用素と呼ばれる最大単調作用素の新しいクラスを定義し、その特徴を付けること。
• これらの作用素の定義域・値域の性質および計算規則を調査すること。
• 強く代表可能な作用素と他のクラス（NI作用素、局所的に最大単調な作用素、ANA型作用素など）との関係を明確にすること。
• 最大単調作用素のフィッツパトリック関数の共役が常に代表関数であるかどうかという問題を解決すること。

提案手法

• 本稿では、積空間 $ Z = X \times X^* $ 上でペアリング $ c(z) = \langle x, x^* \rangle $ を用いて代表関数を定義し、すべての $ z^* \in Z^* $ に対して $ f^*(z^*) \geq c(z^*) $ を満たす関数のクラス $ \mathcal{G}_s(Z) $ を導入する。
• 変換則を用いて共役および劣微分の性質を適用することで、$ f \in \mathcal{G}_s(Z) $ ならばすべての $ \alpha > 0 $ および $ z \in Z $ に対して $ f_\alpha, f_z \in \mathcal{G}_s(Z) $ であることを確立する。
• 特に、フィッツパトリック関数 $ \varphi_M $ 及びその共役を用いて最大単調作用素の構造を分析し、一般には $ \varphi_M^* $ が代表関数でないという事実に注目する。
• 関数 $ h(z) = \frac{1}{2}\|z\|^2 $ を用いた強制性および有界性の議論により、$ M_f $ 内の近似列を構成し、重要な密度および収束性の性質を証明する。
• ANA型性の証明は、$ (x_n, x_n^*) \subset M_f $ となる有界列を構成し、$ (x_n - x, x_n^* - x^*) $ と $ (x, x^*) $ の間の角度が $ 180^\circ $ に近づく、すなわち内積比が $-1$ に近づくことを根拠とする。
• 変換則 $ (g_z)^* = (g^*)_{\widehat{z}} $ および劣微分の平行移動則を用いて、共役関数の平行移動およびスケーリングにおける振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大単調作用素のフィッツパトリック関数の共役は常に代表関数であるか？
• RQ2 強く代表可能な作用素の定義域・値域および構造的性質は何か？
• RQ3 強く代表可能な作用素は、NI、局所的に最大単調、ANA型などの他のクラスとどのように関係しているか？
• RQ4 任意の強く代表可能な作用素は、有界なノルムおよび内積の減衰を制御できるその定義域内の点によって近似可能か？
• RQ5 代表関数 $ f \in \mathcal{G}_s(Z) $ が、ANA性を持つ単調作用素を生成するための条件は何か？

主な発見

• すべての強く代表可能な作用素は、局所的に最大単調であり、最大単調である局所的に、かつANA型である。
• すべての最大単調なNI作用素は強く代表可能であり、広範な例のクラスを確立する。
• 最大単調作用素のフィッツパトリック関数の共役は一般には代表関数でないことが示され、重要な未解決問題が解決された。
• 任意の $ (x,x^*) \notin M_f $ に対して、$ \frac{\langle x_n - x, x_n^* - x^* \rangle}{\|x_n - x\| \cdot \|x_n^* - x^*\|} \to -1 $ を満たす有界列 $ (x_n,x_n^*) \subset M_f $ が存在し、ANA性が確認された。
• 本稿では、$ \|x - x_\varepsilon\|^2 + 2\langle x - x_\varepsilon, x^* - x_\varepsilon^* \rangle + \|x^* - x_\varepsilon^*\|^2 \leq \varepsilon $ を満たす列 $ (x_\varepsilon, x_\varepsilon^*) \subset M_f $ を構成し、グラフ内での強い近似性を示した。
• 変換則 $ (g_z)^* = (g^*)_{\widehat{z}} $ および $ \partial g_z(w) = \partial g(w+z) - \widehat{z} $ を用いて、平行移動およびスケーリングの下で $ \mathcal{G}_s $ クラスが保存されることを示した。