[論文レビュー] Structural Instability of a Biochemical Process

V. I. Grytsay|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたベネットンアルゴリズムとグラム＝シュミット直交化を用いたリャプノフスペクトル解析により、生化学的系における構造的不安定性を調査している。非可逆的バイオシステムにおいて、指数的発散と位相空間収縮の競合がもたらす2つの明確なメカニズム（折りたたみと漏斗形成）を通じて、決定論的力学のもとでも予測不能な進化が生じる、決定的カオスの出現を明らかにした。

ABSTRACT

By the example of a mathematical model of a biochemical process, the structural instability of dynamical systems is studied by calculating the full spectrum of Lyapunov indices with the use of the generalized Benettin algorithm. For the reliability of the results obtained, the higher Lyapunov index determined with the orthogonalization of perturbation vectors by the Gram-Schmidt method is compared with that determined with the overdetermination of only the norm of a perturbation vector. Specific features of these methods and the comparison of their efficiencies for a multidimensional phase space are presented. A scenario of the formation of strange attractors at a change of the dissipation parameter is studied. The main regularities and the mechanism of formation of a deterministic chaos due to the appearance of a fold or a funnel, which leads to the uncertainty of the evolution of a biosystem, are determined.

研究の動機と目的

• 非線形生化学的系における構造的不安定性を、厳密なリャプノフ指数の計算を用いて調査すること。
• リャプノフ指数を計算する2つの数値的手法（ノルムのみの過剰決定とグラム＝シュミット直交化）の信頼性と効率性を比較すること。
• 生化学的系における決定的カオスの出現を引き起こす動的メカニズム（特に折りたたみと漏斗形成）を特定すること。
• 散逸パラメータ α の関数として、周期的からカオス的アトラクタへの遷移を分析すること。
• 決定的カオスが、指数的発散と全位相空間収縮の競合によって生じることを確立し、長期的な予測可能性が不可能であることを示すこと。

提案手法

• バイオリアクタをモデル化する10次元力学系に対して、一般化されたベネットンアルゴリズムを適用し、リャプノフ指数の全スペクトルを計算した。
• 数値的安定性を確保するため、積分中に摂動ベクトルの正規直交性を維持するために、グラム＝シュミット直交化を用いた。
• 単純なノルム過剰決定との結果を比較し、計算の正確性を検証した。
• アトラクター上の軌道に沿って、10個の初期直交・単位ノルム摂動ベクトルの時間間隔 T にわたる進化を追跡した。
• リャプノフ指数を摂動ベクトルノルムの時間平均対数成長率として計算した：λ_j = (1/(nτ)) Σ ln(||u_k|| / ε)。
• 位相空間体積収縮の指標としてリャプノフ指数の和（Λ）を分析し、すべての状態で負の発散が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元系において、数値的手法の選択（ノルムのみ vs. グラム＝シュミット直交化）がリャプノフ指数計算の信頼性に与える影響は何か？
• RQ2 この生化学的モデルにおける決定的カオスの出現を引き起こす動的メカニズムとして、具体的に折りたたみまたは漏斗形成のどちらが関与しているか？
• RQ3 散逸パラメータ α は、系における周期的からカオス的アトラクタへの遷移をどのように制御しているか？
• RQ4 最初のリャプノフ指数（λ₁）は、カオスの始発を特徴づける役割を果たすか？また、スラングアトラクタの構造とどのように相関するか？
• RQ5 位相空間収縮（Λ < 0）と指数的発散（λ₁ > 0）がどれほど共存しているか？この二重性がどのようにカオス的挙動を可能にするか？

主な発見

• ノルム過剰決定とグラム＝シュミット直交化の両手法で算出された高次リャプノフ指数は、ほぼ同一の値を示し、数値実装の信頼性が裏付けられた。
• スラングアトラクタ（n*2^∞）では、λ₁ > 0 かつ λ₂ ≈ 0 であり、1方向に指数的発散、2番目に近い方向に準周期的挙動が見られ、オン・オフインターミットンスと整合的であった。
• 3番目のリャプノフ指数（λ₃）は、λ₁ および λ₂ と逆相関を示し、それらが増加する際に減少し、すべての α 値で負のままであった。
• リャプノフ指数の和（Λ）は、すべての α に対して負であり、系の散逸的性質が確認された。特に、周期的アトラクタ（n*2⁰）ではスラングアトラクタ（n*2^∞）よりも強い収縮を示した。
• α = 0.032165626064 のとき、13*2^∞ のスラングアトラクタが形成され、周期倍分岐がカオスへの遷移を誘発し、インターミットント動的挙動を示した。
• 決定的カオスの発生は、位相空間における折りたたみ（図1a）または漏斗形成（図1c）の生成と機械的に関連しており、軌道が引き伸ばされ折りたたまれることで初期条件に対する極めて高い感度が生じる。