[論文レビュー] Structural Multi-type Sequent Calculus for Inquisitive Logic

Sabine Frittella, Giuseppe Greco+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、妥当性、完全性、カット除去、および部分論理式性を保証する、問いただす論理のための新規な多型順序カーリング計算を導入する。順序論的チーム意味論の分析に基づく型理論的枠組みにより、平坦型と一般型の論理式を区別することで、問いただす論理のヒルベルト的公理化の非スケーマティック性を克服し、完全に分析的である証明体系を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we define a multi-type calculus for inquisitive logic, which is sound, complete and enjoys Belnap-style cut-elimination and subformula property. Inquisitive logic is the logic of inquisitive semantics, a semantic framework developed by Groenendijk, Roelofsen and Ciardelli which captures both assertions and questions in natural language. Inquisitive logic is sound and complete w.r.t. the so-called state semantics (also known as team semantics). The Hilbert-style presentation of inquisitive logic is not closed under uniform substitution; indeed, some occurrences of formulas are restricted to a certain subclass of formulas, called flat formulas. This and other features make the quest for analytic calculi for this logic not straightforward. We develop a certain algebraic and order-theoretic analysis of the team semantics, which provides the guidelines for the design of a multi-type environment which accounts for two domains of interpretation, for flat and for general formulas, as well as for their interaction. This multi-type environment in its turn provides the semantic environment for the multi-type calculus for inquisitive logic we introduce in this paper.

研究の動機と目的

• ヒルベルト的公理化の非スケーマティック性—特に一様な置換の制限—を解消すること。
• カット除去などのメタ理論的性質をサポートする分析的推論を可能にする、問いただす論理の証明論的枠組みを構築すること。
• 平坦型と一般型の論理式に異なる型を割り当てる多型環境を導入することで、ディスプレイ計算の原則を問いただす論理に拡張すること。
• 代数的および順序論的分析を通じて、チーム意味論におけるその意味的基盤を反映する、問いただす論理の句法学的基盤を提供すること。

提案手法

• 論理式がその意味的行動に基づいて型に割り当てられる多型順序カーリング計算を設計する—平坦型（置換に関して閉じている）と一般型（任意の置換に対して閉じている）。
• チーム意味論の順序論的性質を反映する構造的規則を導入する—特に、依存関係とサポートをモデル化する downarrow および uparrow 演算子の相互作用を捉える。
• 元の問いただす論理を、型固有の規則をサポートし、意味的対応を維持するより豊かな多型言語に埋め込む。
• 標準的なディスプレイ性質が、非分析的帰納的公理のため失敗するにもかかわらず、一般化されたベルナップ風のカット除去のメタ定理を計算に適用する。
• 各型内での型の一貫性と置換に関する閉包性を保証し、句法学的制御と部分論理式性を維持する。
• 主論理式に関する場合分けを用いたカット除去の検証により、すべてのカットがより単純なものに置き換えられること、または構造的変換によって削除可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト的公理化の非スケーマティック性があるにもかかわらず、カット除去と部分論理式性をサポートする問いただす論理の証明体系は、どのように設計できるか？
• RQ2 多型順序カーリング計算の設計を導くために、チーム意味論の背後にある代数的および順序論的構造は何か？
• RQ3 平坦型（置換に関して閉じている）と一般型が別々の型として扱われるが、妥当性と完全性を保つ多型計算を構築することは可能か？
• RQ4 平坦型と一般型の論理式間の意味的相互作用を捉えるために、構造的規則はどのように定義できるか？
• RQ5 標準的なディスプレイ性質を満たさない計算に対し、ベルナップ風のカット除去はどの程度一般化可能か？

主な発見

• 提案された多型順序カーリング計算は、問いただす論理の状態意味論に関して妥当かつ完全である。
• 標準的なディスプレイ性質が、非分析的帰納的公理のため失敗するにもかかわらず、一般化されたベルナップ風のメタ定理によりカット除去が達成される。
• 各型内での置換に関する閉包性が保証され、元のヒルベルト的提示の非スケーマティック性が解消される。
• 計算は部分論理式性を満たし、証明内に現れるすべての論理式が結論の部分論理式であることを保証する。
• 構造的規則は、特に downarrow および uparrow 演算子間の随伴関係を捉えるチーム意味論の順序論的分析に基づいて設計されている。
• downarrow が前提部に構造的に使用されるため、標準的なディスプレイ条件を満たさないが、カット除去は依然として成立する。