[論文レビュー] Structural Parameterizations with Modulator Oblivion

Ashwin Jacob, Fahad Panolan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、与えられた CVD を必要とせずに、サイズ k の弦的頂点削除集合 (CVD) をパrameterとする Vertex Cover、Feedback Vertex Set、Odd Cycle Transversal の 2^O(k)-time アルゴリズムを提示する。アプローチは、各バッグが 4 個のクリークと O(k) 個の頂点の和集合である特殊な木分解を 2^O(k)n^O(1) 時間で構築し、この構造上で動的計画法を適用する。主な貢献は、問題を解くか、証明書（特殊な木分解）を出力する適応的アルゴリズムであり、CVD が与えられた場合の既存の最良の上界と一致する。

ABSTRACT

It is known that problems like Vertex Cover, Feedback Vertex Set and Odd Cycle Transversal are polynomial time solvable in the class of chordal graphs. We consider these problems in a graph that has at most $k$ vertices whose deletion results in a chordal graph, when parameterized by $k$. While this investigation fits naturally into the recent trend of what are called `structural parameterizations', here we assume that the deletion set is not given. One method to solve them is to compute a $k$-sized or an approximate ($f(k)$ sized, for a function $f$) chordal vertex deletion set and then use the structural properties of the graph to design an algorithm. This method leads to at least $k^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ running time when we use the known parameterized or approximation algorithms for finding a $k$-sized chordal deletion set on an $n$ vertex graph. In this work, we design $2^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ time algorithms for these problems. Our algorithms do not compute a chordal vertex deletion set (or even an approximate solution). Instead, we construct a tree decomposition of the given graph in time $2^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ where each bag is a union of four cliques and $\mathcal{O}(k)$ vertices. We then apply standard dynamic programming algorithms over this special tree decomposition. This special tree decomposition can be of independent interest. Our algorithms are adaptive (robust) in the sense that given an integer $k$, they detect whether the graph has a chordal vertex deletion set of size at most $k$ or output the special tree decomposition and solve the problem. We also show lower bounds for the problems we deal with under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH).

研究の動機と目的

• CVD のサイズ k をパrameterとする基本的グラフ問題に対する固定パrameter tractable アルゴリズムの開発。CVD が与えられていると仮定しないこと。
• 弦的グラフ上で多項式時間で解ける問題が、CVD サイズに関する保証のみが与えられた場合に 2^O(k) 時間で解けるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 問題を解くか、特別な木分解（構造的証明書）を出力する適応的アルゴリズムを設計すること。これは、単位円グラフに対する Raghavan-Spinrad アルゴリズムに類似している。
• Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) の下で、CVD が与えられた場合でさえも、これらの問題に対するタイトな下界を確立すること。

提案手法

• 各バッグが 4 個のクリークと O(k) 個の追加頂点の和集合である木分解を、2^O(k)n^O(1) 時間で入力グラフに対して構築する。
• この特殊な木分解上で動的計画法を用いて、Vertex Cover、Feedback Vertex Set、Odd Cycle Transversal を解く。
• CVD の計算や近似を避ける。代わりに、弦的グラフの構造的性質を直接利用してグラフ構造上でアルゴリズムを動作させる。
• 弦的グラフが目標問題に対して多項式時間で解けることを利用し、木分解上で効率的な動的計画法を可能にする。
• 問題を解くか、木分解を出力する適応的アルゴリズムを設計し、非解可能性の証明書を提供する。
• Hitting Set からの還元を用いて SETH に基づく下界を証明し、2^O(k) が指数的要因を除いて最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CVD のサイズに関する保証のみが与えられた場合に、Vertex Cover、Feedback Vertex Set、Odd Cycle Transversal が 2^O(k) 時間で解けるか。CVD 自体は与えられていない。
• RQ2 CVD を計算せずに、問題を解くか、特別な木分解のような構造的証明書を出力する適応的アルゴリズムを設計可能か。
• RQ3 CVD が与えられた場合でさえも、Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) の下でこれらの問題に対するタイトな下界は何か。
• RQ4 このアプローチを、弦的削除集合をパrameterとする他の問題、特に弦的グラフ上で NP 困難な問題へ一般化可能か。

主な発見

• 本稿では、CVD のサイズをパrameterとする Vertex Cover、Feedback Vertex Set、Odd Cycle Transversal に対して、CVD が入力として与えられていなくても 2^O(k)n^O(1)-time アルゴリズムを提示する。
• アルゴリズムは、各バッグが 4 個のクリークと O(k) 個の頂点の和集合である特殊な木分解を 2^O(k)n^O(1) 時間で構築し、効率的な動的計画法を可能にする。
• 本アプローチは適応的である：問題を解くか、木分解を出力し、証明書を提供する。これは、単位円グラフに対する Raghavan-Spinrad アルゴリズムに類似している。
• 本稿では、SETH の下で、CVD が与えられた場合でさえも、これらの問題は O*( (2−ϵ)^k ) 時間で解けないことが証明されており、上界が本質的にタイトであることを示している。
• CVD を用いた Hitting Set から Vertex Cover への還元により、SETH の下で 2^O(k) 時間より速く解くことは不可能であることが示され、モジュレーターが与えられていても同様である。
• 結果はクラスターバリエーション削除集合へも拡張され、Vertex Cover がクラスターバリエーション削除集合サイズをパrameterとする場合、SETH の下で O*( (2−ϵ)^k ) 時間で解けないことが示された。