[論文レビュー] Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup

Ruslan Skuratovskii|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、交代群 $A_{2^k}$ および $A_n$ のSylow 2-部分群の最小生成集合を構成し、その構造を完全に記述する。最小性の証明および交換子幅の計算が行われ、群の構造は群の被覆積と根付き木上の自己同型群の作用を用いて特徴づけられる。$p=2$ の場合における先行研究の非最小性および構造記述の不完全さのギャップを解消する。主な貢献は、$\mathrm{Syl}_2A_n$ に対する完全で最小の生成系の特定および $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の修正された導来長の同定であり、暗号理論および幾何的群論への応用を有する。

ABSTRACT

In this article the investigation of Sylows p-subgroups of ${{A}_{n}}$ and ${{S}_{n}}$, which was started in article of U. Dmitruk, V. Suschansky "Structure of 2-sylow subgroup of symmetric and alternating group" and article of R.~Skuratovskii "Corepresentation of a Sylow p-subgroup of a group S_n" \cite{Dm, Sk, Paw} is continued. Let $Syl_2{A_{2^k}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ be Sylow 2-subgroups of corresponding alternating groups $A_{2^k}$ and $A_{n}$. We find a least generating set and a structure for such subgroups $Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ and commutator width of $Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}. The authors of \cite{Dm, Paw} didn't proof minimality of finding by them system of generators for such Sylow 2-subgroups of $A_n$ and structure of it were founded only descriptively. The purpose of this paper is to research the structure of a Sylow 2-subgroups and to construct a minimal generating system for such subgroups. In other words, the problem is not simply in the proof of existence of a generating set with elements for the Sylow 2-subgroup of alternating group of degree $2^k $ and proof its minimality. The main result is the proof of minimality of this generating set of the above described subgroups and also the description of their structure.

研究の動機と目的

• 先行研究における $A_n$ および $A_{2^k}$ のSylow 2-部分群の不完全かつ非最小の生成集合記述を解消すること。
• 構築された $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ および $\mathrm{Syl}_2A_n$ の生成集合の最小性を証明すること。
• 根付き木上の自己同型群の作用と被覆積分解を用いて、$\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ および $\mathrm{Syl}_2A_n$ の群構造を完全に記述すること。
• $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の導来長が常に $k$ であるという誤った主張を是正し、$k=2$ の場合、導来長は 1 であることを示すこと。
• 暗号理論および幾何的群論への応用を検討する。特に、鍵空間の拡張およびReebグラフの自己同型を含む。

提案手法

• 正則な根付き2分木 $X^{[k]}$ 上での自己同型の作用を用いて、$\mathrm{Syl}_2A_n$ の群構造をモデル化する。
• 頂点置換（v.p.）を定義し、状態が自明か非自明かに応じて頂点に 0 または 1 をラベル付けることで、ラベル付き木表現を構成する。
• レベルごとの非自明なv.p.、特にレベル $k-1$ での非自明なv.p.に注目し、生成元 $\alpha_i$ および $\beta$ を構成する。
• 被覆積構造 $C_2 \wr \cdots \wr C_2$（$k-1$ 回）を用いて、$\mathrm{Aut}X^{[k-1]} \simeq B_{k-1}$ をモデル化し、これは偶置換によって作用する。
• 最後のレベルの状態に合同関係（式 7）を課すことにより、群を偶置換に制限し、$\boxtimes$ 積を形成することで、$\mathrm{Syl}_2A_n$ をモデル化する。
• Legendreの公式を用いて、$\mathrm{Syl}_2A_n$ の位数が $2^{n - m - 2}$ であることを確認し、構築された生成系の位数と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の最小生成集合は何か？ そして、本当に最小であるか？
• RQ2 $\mathrm{Syl}_2A_n$ の完全な構造、特に $n = 2^k$ の場合の記述はどのように可能か？
• RQ3 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の正しい導来長は何か？ また、先行研究で主張された $k$ とはどのように異なるか？
• RQ4 $\mathrm{Syl}_2A_n$ は、Morse関数およびReebグラフの自己同型群とどのように関係するか？
• RQ5 構築された生成系を用いて、巨大な鍵空間を持つ暗号プリミティブを構築できるか？

主な発見

• $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の生成集合は最小であり、サイズは $2^{k-1} - k - 1 + 2^{k-2}$ であり、その最小性は厳密に証明されている。
• $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の構造は、群の商群 $\mathrm{Syl}_2S_{2^{k_0}} \boxtimes \cdots \boxtimes \mathrm{Syl}_2S_{2^{k_m}}$ として完全に記述され、$\boxtimes$ 積は最後のレベルの状態に対する合同関係によって偶置換作用を強制する。
• $\mathrm{Syl}_2A_n$ の位数は $2^{n - m - 2}$ であり、Legendreの公式を用いて確認され、構築された群の位数と一致する。
• $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ の導来長は、以前の主張とは異なり $k$ ではない。$k=2$ の場合、$\mathrm{Syl}_2A_4 \simeq K_4$ はアーベル群であるため、導来長は 1 である。
• $\mathrm{Syl}_2A_n$ は、$D^2$ 上のMorse関数のReebグラフの自己同型群として作用し、$\mathbb{Z}^m$ および恒等写像にホモトープな微分同相写像の群を含む短完全列が存在する。
• 生成系は、異なる生成集合および対角基底の指数的増加を支持しており、暗号理論における巨大な鍵空間の拡張が可能である。