[論文レビュー] Structure Based Extended Resolution for Constraint Programming

Geoffrey Chu, Peter J. Stuckey|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2013

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制約プログラミング（CP）ソルバにおける構造に基づく拡張解像度を提案する。高レベルのモデル構造を活用して、部分和などの意味的意味を持つ論理的命題（例：部分和）を解像度証明系に知的に導入することで、証明サイズと探索空間を著しく削減し、標準のノーグッド学習と比較して組合せ最適化問題において指数的スピードアップを達成する。

ABSTRACT

Nogood learning is a powerful approach to reducing search in Constraint Programming (CP) solvers. The current state of the art, called Lazy Clause Generation (LCG), uses resolution to derive nogoods expressing the reasons for each search failure. Such nogoods can prune other parts of the search tree, producing exponential speedups on a wide variety of problems. Nogood learning solvers can be seen as resolution proof systems. The stronger the proof system, the faster it can solve a CP problem. It has recently been shown that the proof system used in LCG is at least as strong as general resolution. However, stronger proof systems such as \emph{extended resolution} exist. Extended resolution allows for literals expressing arbitrary logical concepts over existing variables to be introduced and can allow exponentially smaller proofs than general resolution. The primary problem in using extended resolution is to figure out exactly which literals are useful to introduce. In this paper, we show that we can use the structural information contained in a CP model in order to introduce useful literals, and that this can translate into significant speedups on a range of problems.

研究の動機と目的

• 拡張解像度における有効な言語拡張の選択という課題に取り組む。これは、ランダムまたはヒューリスティックに基づく拡張がしばしば性能向上をもたらさないためである。
• 高レベルのCPモデルに内在する構造的情報（特にグローバル制約）を活用し、意味的に意味のある強力な新しい命題を導入する。
• LCGプロパゲータが生成する説明の一般性を評価するためのフレームワークを開発する。これにより、有用な言語拡張の選択が可能になる。
• 構造に配慮した拡張が、指数的に小さな証明と高速な解決をもたらし、標準のノーグッド学習や従来のSATベースの拡張解像度技術を上回ることを示す。

提案手法

• 固定された解像度言語 L を前提として、LCGプロパゲータからの説明の一般性を評価するフレームワークを導入し、言語拡張の系統的評価を可能にする。
• 代表的なグローバル制約（例：累積、ビンパッキング、すべて異なる）の内部構造を分析し、部分和やしきい値表現などの新たな論理的命題の自然な候補を同定する。
• 制約の構造的意味論を用いて、完全なCNF変換を伴わずに複雑な論理的関係を捉える新しい命題（例：$\llbracket x_1 + x_2 \geq 5 \rrbracket$）を定義する。
• これらの新しい命題をLCGソルバの解像度システムに統合し、ノーグッド導出や枝刈りに使用可能にするが、効率的なメモリ管理を維持する。
• 1回の解法で必要な命題の数は非常に少ないことを利用し、複雑な命題を動的に作成・破棄することで、パフォーマンスへのペナルティを回避する。
• 拡張選択にSATスタイルのヒューリスティクス（例：係数の大きさや衝突パターン）に依存せず、問題の意味論に基づいて有用な命題の選択をガイドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CPモデルにおける構造的情報は、拡張解像度における新しい論理的命題の導入をガイドすることで、より強力な証明系を実現できるか？
• RQ2 どのような制約構造が、一般性とパワーを高める有用な言語拡張を自然に示唆するか？
• RQ3 構造に基づく拡張解像度は、標準のLCGおよびSATベースの拡張解像度技術と比較して、証明サイズおよび解決パフォーマンスにおいてどのように異なるか？
• RQ4 意味的に意味のある命題（例：部分和）の導入により、証明サイズと探索空間が指数的に削減されるか？

主な発見

• 構造に基づく拡張解像度は、$\llbracket x_1 + x_2 \geq 5 \rrbracket$ のような論理的に意味のある命題を導入することで、一般解像度と比較して指数的に小さな証明を導出可能である。
• 累積制約やすべて異なる制約のような制約のグローバル構造を活用することで、さまざまな組合せ最適化問題において顕著なスピードアップを達成している。
• 構造的意味論に基づく命題の導入は、係数の大きさに基づくSATスタイルのヒューリスティクス（しばしば部分和命題を発見できない）を上回る。
• フレームワークにより、複雑な命題の動的作成・破棄が可能となり、言語拡張の潜在的基数が大きくても実用的である。
• 実験では、構造に基づく拡張が、他の順序戦略の利点を無効にすることが示され、構造的洞察が有効な拡張選択に不可欠であることが証明された。