[論文レビュー] Structure of $Gal(k_2^{(2)}/k)$ for some fields $k=Q(\sqrt{ 2p_1p_2}, \sqrt{-1})$

Abdelmalek Azizi, Abdelkader Zekhnini+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次クラス群が型 $(2,2,2)$ の虚2重二次体 $τ = \mathbb{Q}(\sqrt{2p_1p_2}, i)$ に対して、非アーベルなガロア群 $\mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ の構造、生成子、冪零クラス、およびコクレースを決定する。2次拡大および2次分岐しない2重二次拡大における2クラスの帰属問題を完全に解決し、明示的な類群不変量および類拡張準同型の核を提供する。

ABSTRACT

Let $p_1 \equiv p_2 \equiv5\pmod8$ be different primes. Put $i=\sqrt{-1}$ and $d=2p_1p_2$, then the bicyclic biquadratic field $k=Q(\sqrt{d}, \sqrt{-1})$ has an elementary abelian 2-class group of rank $3$. In this paper we determine the nilpotency class, the coclass, the generators and the structure of the non-abelian Galois group $\mathrm{Gal}(k_2^{(2)}/k)$ of the second Hilbert 2-class field $k_2^{(2)}$ of $k$. We study the capitulation problem of the 2-classes of $k$ in its seven unramified quadratic extensions $K_i$ and in its seven unramified bicyclic biquadratic extensions $L_i$.

研究の動機と目的

• 特定の虚2重二次体に対して、ガロア群 $G = \mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ の同型型および構造的不変量（冪零クラス、コクレースなど）を決定すること。
• 自然な類拡張準同型 $j_{\mathbb{K}/\mathds{k}}$ の核を計算することにより、$\mathds{k}$ のすべての分岐しない2次および2重二次拡大における2クラスの帰属問題を解明すること。
• 第1および第2ヒルベルト2次類群内のすべての分岐しない拡大 $\mathbb{K}$ および $\mathbb{L}_i$ における2次類群の明示的なアーベル型不変量を提供すること。
• Legendre記号および $\mathbb{Q}(i)$ 内での素数の分解条件に基づいて、2次類群構造と核の挙動の完全な分類を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、2次類群が多二次体において既知の結果を用いて、第2ヒルベルト2次類群 $\mathds{k}_2^{(2)}$ 及びそのガロア群 $G = \mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ の構造を分析するため、類体論を用いる。
• 素数 $p_1, p_2$ の $\mathbb{Q}(i)$ 内での分解を用いた代数的数論的手法を適用し、$\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4$ の分解行動と類群構造への影響を特定する。
• Hasseの単位指数 $Q_{K/\mathbb{Q}}$ および CM体における $\omega_K$ を用いて、部分体における単位指数および基本単位の明示的解析により、核 $\ker j_{\mathbb{K}/\mathds{k}}$ を計算する。
• Legendre記号条件 $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$ および $\left(\frac{\pi_1}{\pi_3}\right)$ を用いてケースを分割し、分岐拡大の類群に対する異なる不変量を導出する。
• 代数的基準に基づき、$d = 2p_1p_2$, $q$, $b$, $m$, $n$, $\pi$ を用いて $\mathbf{C}l_2(\mathbb{K}_i)$ および $\mathbf{C}l_2(\mathbb{L}_i)$ を分類するため、表9〜12の不変量表を構築する。明示的な型不変量（例：$(2,2,2)$, $(4,2)$, $(6,6,6)$ など）を含む。
• 類群の全体的挙動と帰属の性質から $G$ の構造を導出し、$G$ が位数 $\geq 64$、冪零クラス3、コクレース2の非アーベル2群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathds{k} = \mathbb{Q}(\sqrt{2p_1p_2}, i)$ で $p_1 \equiv p_2 \equiv 5 \pmod{8}$ かつ $\mathbf{C}l_2(\mathds{k}) \simeq (2,2,2)$ のとき、ガロア群 $\mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ の同型型は何か？
• RQ2 $\mathds{k}$ の7つの分岐しない2次拡大 $\mathbb{K}_i$ および7つの分岐しない2重二次拡大 $\mathbb{L}_i$ において、$\mathds{k}$ の2クラスはどのように帰属するか？
• RQ3 $\mathds{k}_2^{(1)}$ 内のすべての分岐しない拡大 $\mathbb{K}_i$ および $\mathbb{L}_i$ における2次類群のアーベル型不変量は何か？
• RQ4 各分岐しない拡大 $\mathbb{K}$ に対して核 $\ker j_{\mathbb{K}/\mathds{k}}$ の構造は何か？また、Legendre記号 $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$ および $\left(\frac{\pi_1}{\pi_3}\right)$ に応じてどのように変化するか？
• RQ5 $G = \mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ の冪零クラスおよびコクレースは何か？また、これらは第2ヒルベルト2次類群の非アーベル構造をどのように反映するか？

主な発見

• ガロア群 $G = \mathrm{Gal}(\mathds{k}_2^{(2)}/\mathds{k})$ は、位数64以上、冪零クラス3、コクレース2の非アーベル2群であり、生成子と関係式を明示的に記述できる。
• $d = 2p_1p_2$ で $p_1 \equiv p_2 \equiv 5 \pmod{8}$ のとき、$\mathds{k}$ の2次クラス群は型 $(2,2,2)$ であり、正確に7つの分岐しない2次拡大および7つの分岐しない2重二次拡大を有する。
• 核 $\ker j_{\mathbb{K}/\mathds{k}}$ は一部の拡大（例：$d=130$ の $\mathbb{K}_1$）では自明であるが、他の拡大では非自明である。例えば $d=530$ において $\ker j_{\mathbb{K}_3/\mathds{k}} \simeq (2,2)$ であり、非自明な帰属を示している。
• $\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = 1$ かつ $\left(\frac{\pi_1}{\pi_3}\right) = 1$ のとき、$\mathbb{L}_1$ の類群は $d=17090$ で $(9240,420)$ である。一方、$\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = -1$ のとき、$\mathbf{C}l_2(\mathbb{L}_1) = (24,2)$ で $d=130$ である。これは分解条件に強く依存していることを示している。
• $d=130$ において、$\mathbb{K}_3 = \mathds{k}(\sqrt{2})$ の2次類群は型 $(2,2,2)$ であり、$\ker j_{\mathbb{K}_3/\mathds{k}}$ は自明である。一方、$\mathbb{K}_1$ では $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型である。
• $G$ の構造は完全に特定されている：位数128の非アーベル2群であり、導来部分群 $G'$ は位数16、$G/G' \simeq (2,2,2)$ である。これは $G$ が第2ヒルベルト2次類群のガロア群としての役割を果たしていることを確認する。