[論文レビュー] Structure Theorem and Isomorphism Test for Graphs with Excluded Topological Subgraphs

Martin Grohe, Dániel Marx|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Nov 4, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、固定されたグラフ $H$ を位相的部分グラフとして含まないグラフの構造定理を提示し、各トーロスが固定された曲面にほぼ埋め込めるか、または有界個数の頂点を除いて有界次数であるような木分解が存在することを示している。主な貢献は、このようなグラフに対する多項式時間同型性判定アルゴリズムの開発であり、不変の木型分解と同型化のためのリフト補題を用いて、有界次数グラフおよび $H$-minor-free グラフの既知の結果を統合・一般化している。

ABSTRACT

We generalize the structure theorem of Robertson and Seymour for graphs excluding a fixed graph $H$ as a minor to graphs excluding $H$ as a topological subgraph. We prove that for a fixed $H$, every graph excluding $H$ as a topological subgraph has a tree decomposition where each part is either "almost embeddable" to a fixed surface or has bounded degree with the exception of a bounded number of vertices. Furthermore, we prove that such a decomposition is computable by an algorithm that is fixed-parameter tractable with parameter $|H|$. We present two algorithmic applications of our structure theorem. To illustrate the mechanics of a "typical" application of the structure theorem, we show that on graphs excluding $H$ as a topological subgraph, Partial Dominating Set (find $k$ vertices whose closed neighborhood has maximum size) can be solved in time $f(H,k)\cdot n^{O(1)}$ time. More significantly, we show that on graphs excluding $H$ as a topological subgraph, Graph Isomorphism can be solved in time $n^{f(H)}$. This result unifies and generalizes two previously known important polynomial-time solvable cases of Graph Isomorphism: bounded-degree graphs and $H$-minor free graphs. The proof of this result needs a generalization of our structure theorem to the context of invariant treelike decomposition.

研究の動機と目的

• Robertson と Seymour の $H$-minor-free グラフの構造定理を、$H$ を位相的部分グラフとして含まないグラフへ拡張すること。
• $|H|$ をパラメータとして、構造的分解を計算する固定パラメータ可 tractable アルゴリズムを開発すること。
• 構造定理を用いて、部分支配集合やグラフ同型性といった基本的問題に対する効率的アルゴリズムを設計すること。
• 同型化を可能にするために、構造定理を不変の木型分解へ一般化すること。
• 有界次数および $H$-minor-free グラフにおけるグラフ同型性の既知の多項式時間解法を、統一的な枠組みへ統合すること。

提案手法

• $H$-topological-subgraph-free グラフが、各トーロスが固定された曲面にほぼ埋め込めるか、または有界個数の頂点を除いて有界次数であるような木分解を持つという構造定理を証明する。
• $|H|$ をパラメータとして、このような分解を計算する固定パラメータ可 tractable アルゴリズムを開発する。これには minor テスティングおよび構造的分解技術を用いる。
• 木分解上で下向きの動的計画法を用いて、Partial Dominating Set を時間 $f(k,H) imes n^{O(1)}$ で解く。
• 構造定理を不変の木型分解へ一般化し、論理的定義可能性およびアルゴリズム的リフトを可能にする。
• 一般化されたリフト補題を適用し、トーロスクラスからの多項式時間同型化アルゴリズムを、全体のグラフクラスへ拡張する。
• 不変分解定理とリフト補題を活用して、$H$-topological-subgraph-free グラフが多項式時間強同型化を許容することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H$ を位相的部分グラフとして含まないグラフに対して、Robertson と Seymour の minor に基づく構造定理を一般化する構造定理を構築できるか？
• RQ2 $|H|$ をパラメータとして、$H$-topological-subgraph-free グラフの構造的分解を計算する固定パラメータ可 tractable アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 この構造定理を用いて、部分支配集合のような問題に対する効率的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 $H$-topological-subgraph-free グラフにおけるグラフ同型性は多項式時間で解けるか。もし可能であれば、そのアルゴリズム的実装はどのように達成できるか？
• RQ5 構造定理を不変の木型分解へ拡張することで、同型化および同型性判定を可能にすることができるか？

主な発見

• 本稿では、$H$-topological-subgraph-free グラフの構造定理を確立した。任意のこのようなグラフは、各トーロスが固定された曲面にほぼ埋め込めるか、または有界個数の頂点を除いて有界次数であるような木分解を持つ。
• このような分解は、ある計算可能関数 $f$ を用いて $f(H) imes |V(G)|^{O(1)}$ 時間で計算可能であり、$|H|$ をパラメータとして固定パラメータ可 tractable である。
• Partial Dominating Set は、$H$-topological-subgraph-free グラフ上で $f(k,H) imes n^{O(1)}$ 時間で解ける。これは、構造定理の実用的有用性を示している。
• グラフ同型性は、$H$-topological-subgraph-free グラフ上で多項式時間で解ける。これは、有界次数および $H$-minor-free グラフに対する既存の結果を統合している。
• 同型性の結果は、構造定理の不変の木型分解への一般化および、トーロスから全体のグラフクラスへ同型化アルゴリズムを移行するリフト補題に依存している。
• 実行時間の指数は $H$ に依存するが、同型性テストを $f(H) imes n^{O(1)}$ 時間の固定パラメータ可 tractable 時間へ改善できるかは未解決のままである。