[論文レビュー] Structured signal recovery from quadratic measurements: Breaking sample complexity barriers via nonconvex optimization

Mahdi Soltanolkotabi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、従来のサンプル複雑性の壁を打ち破るために、構造的知識を活用した非凸最適化フレームワークを提案する。非凸制約のもとでも、投影勾配降下法が真の信号へ線形収束することを証明し、理論的最小値をわずかに上回る定数倍の測定回数で収束を達成する。

ABSTRACT

This paper concerns the problem of recovering an unknown but structured signal $x \in R^n$ from $m$ quadratic measurements of the form $y_r=||^2$ for $r=1,2,...,m$. We focus on the under-determined setting where the number of measurements is significantly smaller than the dimension of the signal ($m<

研究の動機と目的

• 信号次元（n）に比べてはるかに少ない二次測定（m << n）から構造的信号を回復する課題に取り組む。
• s-スパース信号に対して m ≳ s²/log n を要する従来の手法のサンプル複雑性の制限を克服する。
• スパースネス、低ランク、区分的定数など、構造的事前知識を活用する、証明可能に収束するアルゴリズムを開発する。
• 一般（凸または非凸）制約集合のもとで、投影勾配降下法の収束保証を確立する。
• 事前構造的情報を活用することで、測定時間を短縮可能な実用的フェーズレス画像化システムを実現する。

提案手法

• 信号回復を、信号に関する事前構造的知識を符号化する制約をもつ非凸最適化問題として定式化する。
• 非凸問題を解くために、初期値が真の信号に十分近い場合に収束保証が得られる投影勾配降下法を採用する。
• 接空間近傍における経験プロセスを制御するために、一様測定集中の議論を用いる。
• パラメータ空間全体にわたる一様収束を確立するために、確率的プロセス f(Ax) − E[f(Ax)] に対するサブガウス型増分バウンドを適用する。
• ガウス分布のベクトル A(u±v) の独立構造を活用し、リプシッツ型集中不等式を導出する。
• 目的関数が真の信号の近傍で制限された強い凸性に類似した性質を満たすことを証明し、線形収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報理論的最小値に近いサンプル複雑性で、二次測定からの構造的信号回復は可能か？
• RQ2 初期値が真の信号に近い場合でさえ、非凸制約のもとでも投影勾配降下法は真の信号へ線形収束するか？
• RQ3 非凸最適化手法は、スパース信号回復において m ≳ s²/log n のサンプル複雑性の壁を打ち破れるか？
• RQ4 事前構造的情報を用いる場合、非凸最適化のヒューリスティクスがグローバルに収束するための条件は何か？
• RQ5 一様集中を用いて、高次元設定における制約付き非凸最適化をどのように分析できるか？

主な発見

• 初期値が解の近傍にある限り、非凸制約集合であっても、投影勾配降下法は真の信号へ線形収束する。
• 最小限の信号同定に必要な測定回数の定数倍の測定回数で十分であり、近似的に最適なサンプル複雑性を達成する。
• 信号が構造的で、初期値が十分に近い限り、任意の制約集合（凸または非凸）に対して理論的保証が成立する。
• 必要な測定回数は環境次元 n に依存せず、信号構造の内因的複雑性にのみ依存する。
• 経験プロセス f(Ax) の一様集中が接空間近傍で確立され、強力な収束結果を可能にする。
• スパースネスや区分的定数性などの構造的事前知識を活用することで、データ駆動型フェーズレス画像化が著しく短時間で実現可能になる。