[논문 리뷰] Structures symplectiques et de Poisson sur les champs en catégories

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 극한 카라부르-야우(dg) 카테고리의 기하학적 구조를 이용하여, dg-카테고리의 대상들의 유도 모듈리 공간에서 심플렉틱 및 파울리 방정식의 존재 결과를 새롭게 확립한다. 이는 카라부르-야우 구조와 강성 모노이드 dg-카테고리에서의 방향성에 기반하며, AKSZ 형식주의를 사상 공간 이외의 영역으로 일반화한다. 특히, $\omega$-카테고리에서의 HKR 정리와 추적 이론을 활용하여, 차원 $d$인 카라부르-야우 dg-카테고리와 방향성을 가진 강성 모노이드 dg-카테고리가 그 대상들의 모듈리 공간에 차수 $2-d$의 심플렉틱 형식을 유도함을 증명한다.

ABSTRACT

The purpose of this short note is to present two existence results concerning symplectic and lagrangian structures in the derived setting, in situations where the constructions of [Ca] and [PTVV] do not apply. For this we show that symplectic structures can be constructed out of Calabi-Yau structures on sheaves of dg-categories, or out of \emph{orientations} on sheaves of rigid dg-categories. These results follow from two main theorems: the HKR theorem and the cyclotomic aspect of traces in rigid infty-categories.

연구 동기 및 목표

• AKSZ 형식주의를 $\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$ 형태가 아닌 유도 모듈리 공간으로 확장하는 것. 여기서 평가 사상이 존재하지 않는다.
• 기하학적 실현이 없는 경우에도, $d$-카라부르-야우 dg-카테고리 $T$의 대상들의 유도 모듈리 공간 $\mathcal{M}_T$에 심플렉틱 구조의 존재를 확립하는 것.
• 표준 AKSZ 방법이 실패하는 비콤팩트 또는 형식적 경계 공간(예: $\widehat{\partial}X$)의 접속 모듈리 공간에 대해 심플렉틱 및 파울리 방정식을 구성하는 일반적 프레임워크를 제공하는 것.
• 추적 이론과 $\infty$-카테고리적 대칭을 통한 비가환 및 가환 접근 방식의 통합을 통해, 유도 대수기하학에서의 심플렉틱 기하학을 통합하는 것.
• 매끄럽고 비콤팩트 다양체 $X$ 위의 평탄한 접속의 유도 모듈리에 대해, 경계 접속의 심플렉틱 모듈리 공간으로의 라그랑주 사상에 의해, 차수 $2-d$의 자연스러운 파울리 구조가 존재함을 보여주는 것.

제안 방법

• cdga의 음의 순환 호모로지와 $S^1 \otimes_k A$의 호모토피 고정점 간의 관계를 설명하는 고차 HKR 정리를 활용하여, 자연스러운 사상 $ (S^1 \otimes_k A)^{hS^1} \to \mathcal{A}^{p,\text{cl}}(A)[p] $를 정의한다.
• 강성 모노이드 $\infty$-카테고리에서의 추적 이론을 적용하여, 심플렉틱 형식을 정의하는 데 필수적인 자연스러운 추적과 쌍형을 구성한다.
• 차원 $d$인 dg-카테고리 $T$에 대한 카라부르-야우 구조를 통해 $\mathcal{M}_T$에 차수 $2-d$의 심플렉틱 형식을 구성한다.
• 강성 모노이드 dg-카테고리 $T$에 대한 사전 방향성 $or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$를 이용하여 $\mathcal{M}_T$에 심플렉틱 구조를 정의한다.
• 유도 순환 공간 $\mathcal{L}X$의 추적 사상에 대해 적용하여, 순환 호모로지 및 심플렉틱 구조와 연결한다.
• 파울리 구조의 존재를, [Me-Sa] 및 [Pa-To]의 기준에 따라 심플렉틱 유도 스택으로의 라그랑주 사상의 존재로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AKSZ 형식주의가 소스 공간 $X$ 가 없어 적용 불가능한 경우, dg-카테고리의 대상들의 유도 모듈리 공간에 심플렉틱 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $d$-카라부르-야우 구조가 dg-카테고리 $T$에 존재할 때, $T$의 대상들의 유도 모듈리 스택 $\mathcal{M}_T$에 차수 $2-d$의 자연스러운 심플렉틱 형식을 유도하는가?
• RQ3 비콤팩트 매끄러운 다양체 $X$ 위의 평탄한 접속의 유도 모듈리에 대해, $X$ 가 국소 콤팩트가 아니더라도 심플렉틱 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ4 비콤팩트 다양체 $X$의 형식적 경계 $\widehat{\partial}X$ 위의 접속 모듈리 공간에 대해, 심플렉틱 및 파울리 구조를 정의할 수 있는 일반적 메커니즘이 존재하는가?
• RQ5 An의 결과에서처럼 $\ell$-adic 층의 유도 모듈리에 대해 이 새로운 프레임워크를 통해 심플렉틱 구조를 부여할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 $d$인 카라부르-야우 dg-카테고리 $T$에 대해, 대상들의 유도 모듈리 스택 $\mathcal{M}_T$는 정리 2.5에 의해 차수 $2-d$의 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.
• 강성 모노이드 dg-카테고리 $T$에 사전 방향성 $or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$가 존재할 경우, 모듈리 스택 $\mathcal{M}_T$는 정리 3.7에 의해 차수 $2-d$의 심플렉틱 형식을 지닌다.
• 사전 방향성이 실제 방향성일 경우, 사전 방향성에 의해 유도되는 사상 $u: \mathcal{M}^{\mathcal{T}'} \to \mathcal{M}^{\mathcal{T}}$는 $u^*(\omega) \sim 0$ 조건을 만족하는 라그랑주 구조 $h$를 가진다.
• 매끄럽고 비콤팩트 다양체 $X$ 위의 평탄한 접속의 유도 모듈리 스택 $\mathbf{Vect}^\nabla(X)$는 경계 접속의 심플렉틱 모듈리 공간 $\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$로의 라그랑주 사상에 의해 유도된 차수 $2-d$의 자연스러운 파울리 구조를 가진다.
• 형식 $\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$가 아닌 $\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$의 심플렉틱 구조는 정리 3.7를 통해 구성되며, AKSZ 유형의 평가 사상이 필요 없이 구성된다.
• 결과는 분석적 및 강성 분석적 설정으로까지 확장되며, 최근의 HKR 정리들을 통해 [An]의 $\ell$-adic 층의 모듈리에 적용 가능할 가능성이 제기된다.