[論文レビュー] Study of a model for reference-free plasticity

Luckhaus, Stephan, Wohlgemuth, Jens|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Composite Material Mechanics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、原子配置に局所的なブラーヴァイ lattice をフィットさせることで、固定された参照配置を必要としない弾性エネルギーを定義する Kac 型多粒子系を用いた塑性の参照フリーなモデルを提案する。主な貢献は、フィットした格子パラメータが有効なラグランジュ座標として機能することを証明し、それら座標を用いたエネルギー密度の下界を確立するとともに、ホモトピー論的議論によって不純物の位相的特徴づけを可能にすることにある。

ABSTRACT

We investigate a Kac-type many particle model that allows a reference-free description of plastic deformation. In the framework of the model a solid body is described by a set of particle positions. A lattice is fitted to the particle configuration around each point on a mesoscopic scale. The lattice parameters are used as an argument of a non-linear elasticity energy functional. There are two main results in this paper. First, we prove an estimate for the difference between the fitted lattice parameters of points of low energy density that are sufficiently close to each other. Sequences of these points can be used for homotopy type arguments. In particular it is possible to identify dislocations as topological defects in this framework. Furthermore, we use the fitted lattice parameters as local Lagrangian coordinates and bound the energy from below with a functional of these coordinates.

研究の動機と目的

• 固定された参照配置に依存しない塑性変形のモデル化フレームワークの構築を目的とし、これは古典的弾性論が不純物を記述する際に制限を受ける要因である。
• 原子位置にフィットした局所的格子パラメータを用いて、不純物を位相的欠陥として同定することを目的とする。
• フィットした格子パラメータを一般化座標として用いて、エネルギー密度の下界を確立することを目的とする。
• 非平衡統計力学における微視的粒子系とミクロスコピック弾性挙動との間の接続の基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• Kac 型の相互作用ポテンシャルを有する多粒子ハミルトニアンを定義し、エネルギー密度をメゾスコピックスケール λ の範囲内で原子位置に局所的にブラーヴァイ格子をフィットさせることで定義する。
• エネルギー密度は、A ∈ Gl_d(R) および τ ∈ R^d のすべての可能な格子パラメータ (A, τ) に対して最小化され、有効エネルギー密度 ĥ_λ(χ, x) が定義される。
• 事前エネルギー密度 h_λ(A, χ, x) は、3 つの部分に分解される：弾性エネルギー F(A)、フィットした格子からのずれコスト J_λ、および空孔コスト ν_λ。
• 連続するフィットした格子の系列を用いて一般化されたバーガースベクトルを定義し、ホモトピー論的議論によって不純物の位相的特徴づけを可能にする。
• フィットした格子パラメータが有効なラグランジュ座標として機能することが示され、エネルギー密度が ∇τ および ∇²τ を含む関数型によって下から抑えられることを示す。
• 近接する低エネルギー点間の格子パラメータの差に対して推定値が得られ、位相的解析に適した安定性と連続性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原子位置に局所的格子をフィットさせることで、固定された参照配置を必要とせずに塑性変形を記述できるか？
• RQ2 格子パラメータを用いて、参照フリーな枠組みで不純物を位相的欠陥として同定する方法は何か？
• RQ3 フィットした格子パラメータがラグランジュ座標として機能し、エネルギーを下から抑えられるか？
• RQ4 低エネルギー密度領域において、格子パラメータ場の安定性と連続性を保証する条件は何か？
• RQ5 エネルギー密度をフィットした格子パラメータの関数型として表現することで、熱力学的および統計力学的接続を可能にする方法は何か？

主な発見

• 低エネルギー密度の近接する点間の格子パラメータの差が有界であることが示され、連続性が保証され、位相的欠陥解析のためのホモトピー的議論が可能になる。
• 連続するフィットした格子の系列から構築された一般化されたバーガースベクトルを用いて、不純物が位相的欠陥として成功裏に同定された。
• エネルギー密度は、格子パラメータ場の勾配およびヘッセ行列を含む関数型によって下から抑えられる：h_λ ≥ F(∇τ) + C‖∇²τ‖²。
• フィットした格子パラメータ (A, τ) は有効なラグランジュ座標として機能し、参照フリーな弾性エネルギー記述を可能にする。
• 本モデルは、特に低温において、微視的粒子系とミクロスコピック弾性挙動との間の統計力学的接続の可能性を支持する。
• 格子パラメータおよび変位場のずれに関する定量的推定値が得られ、その境界は粒子配置の滑らかさとスケール λ に依存する。