[論文レビュー] Study of $q$-Garnier system by Padé method

Hidehito Nagao, Yasuhiko Yamada|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$q$-Garnier系にPadé法を適用し、簡略化されたスカラーLax対と発展方程式を導出する。微分グリッドおよび$q$-グリッド上のPadé問題を用いて、$q$-Appell Lauricella関数および一般化$q$-超幾何関数を介して特別解を構成し、$q$-Painlevé方程式および一般化QRT系との関係を確立する。

ABSTRACT

We give a simple form of the evolution equation and a scalar Lax pair for the $q$-Garnier system. Some reductions to the $q$-Painlevé equations and the autonomous case as a generalized QRT system are discussed. Using two kinds of Padé problems on differential grid and $q$-grid, we derive some special solutions of the $q$-Garnier system in terms of the $q$-Appell Lauricella function and the generalized $q$-hypergeometric function.

研究の動機と目的

• 元の行列形式（Sakaiの形式）を改善した、$q$-Garnier系のより単純なスカラーLax対形式への再定式化を目的とする。
• 微分グリッドおよび$q$-グリッド上でのPadé近似技法を用いて、$q$-Garnier系の発展方程式および整合性条件を導出すること。
• 2つの異なるPadé問題を用いて、$q$-Appell Lauricella関数および一般化$q$-超幾何関数の形で明示的な特別解を構成すること。
• $q$-Garnier系の縮約が、$D_5^{(1)}$、$E_6^{(1)}$、$E_7^{(1)}$型の$q$-Painlevé方程式をどのように得るかを明らかにし、特に$E_7^{(1)}$型の新しいケースを特定すること。
• $q$-Garnier系の自己同型極限が、QRT系の超楕円的一般化として特定されることを目的とする。

提案手法

• 未知関数$y(x)$、${\bar{y}}(x)$、${\bar{y}}(x/q)$を含む線形差分方程式$L_2(x) = 0$および$L_3(x) = 0$を用いてスカラーLax対を定式化し、係数多項式$A_1(x)$、$B_1(x)$、$F(f,x)$、$G(g,x)$を導入する。
• Lax方程式間の整合性条件を係数一致により導出し、変数$f_i$、$g_j$を制約する式(2.6)–(2.8)を得る。
• 微分グリッド上でのPadé法を適用し、Padé補間問題を解くことで、$q$-Appell Lauricella関数$\varphi_D^{(l)}$を介した解が得られる。
• $q$-グリッド上でのPadé法を適用し、$q$-差分補間問題を用いることで、一般化$q$-超幾何関数${}_l\varphi_l$を用いた特別解が得られる。
• $q$-シフト作用素$T_{a_i}$、$T_{b_j}$を用いて係数の発展および変換を表現し、明示的な解の公式の導出を可能にする。
• 漸近展開および$x = 1/a_i$、$1/b_j$における特別値の恒等式を用いて、解と特殊関数との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、元の行列形式を改善した、より単純なスカラーLax対形式に$q$-Garnier系を再定式化できるか？
• RQ2 微分グリッドおよび$q$-グリッド上でのPadé問題から生じる特別解は何か？ それらは特殊関数の形でどのように表現されるか？
• RQ3 $q$-Garnier系の縮約が既知の$q$-Painlevé方程式をどのように導くか？ また、$E_7^{(1)}$型のような新しいケースはどのように生じるか？
• RQ4 $q$-Garnier系の自己同型極限と一般化QRT系との関係は何か？
• RQ5 $q$-Appell Lauricella関数と一般化$q$-超幾何関数の解の間に、構造的または関数的関係は存在するか？

主な発見

• 元の$2\times2$行列形式を簡略化した、$q$-Garnier系のスカラーLax対が導出され、発展方程式の明確な解析が可能になった。
• Lax方程式の整合性から、$f_i$、$g_j$およびパラメータ$a_i$、$b_j$、$c_i$、$d_i$を含む明示的な有理写像的発展方程式(2.6)–(2.8)が得られた。
• 微分グリッド上でのPadé問題を用いて特別解を構成した。その解は、定理4.1および命題4.5で示されるように、$q$-Appell Lauricella関数$\varphi_D^{(l)}$として表現される。
• $q$-グリッド上では、一般化$q$-超幾何関数${}_l\varphi_l$を用いた特別解が得られ、係数値の明示的公式(5.16)および(5.17)–(5.19)が与えられた。
• $q$-Garnier系は、$D_5^{(1)}$、$E_6^{(1)}$、$E_7^{(1)}$型の$q$-Painlevé方程式に縮約され、特に$E_7^{(1)}$型のケースは新しい結果である。
• $q$-Garnier系の自己同型極限は、QRT系の超楕円的一般化として特定され、新たな可積分構造が確立された。