[論文レビュー] Sub classes of Bi-Univalent Functions Defined by Salagean type $q-$ Difference Operator

G. Murugusundaramoorthy, K. Vijaya|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Analytic and geometric function theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Sálăgean 型 $q$-差分作用素を用いて、双一価関数の新しい部分クラスを導入し、劣微分条件の下で係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い推定値を確立する。さらに、新しい関数クラスに対して Fekete-Szegő 不等式を導出し、古典的および $q$-微積分枠組みにおける既存の結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and investigate a new subclass of the function class $Σ$ of bi-univalent functions defined in the open unit disk, which are associated with the Sălăgean type $q-$ difference operator and satisfy some subordination conditions. Furthermore, we find estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients $|a_2|$ and $|a_3|$ for functions in the new subclass introduced here. Several (known or new) consequences of the results are also pointed out. Further we obtain Fekete-Szeg$\ddot{o}$ inequality for the new function class.

研究の動機と目的

• 単位開円板内における Sálăgean 型 $q$-差分作用素を用いて、双一価関数の新しい部分クラスを定義すること。
• 正の実部をもつ一般の解析関数 $\phi(z)$ を含む劣微分条件の下で、$|a_2|$ および $|a_3|$ の係数推定値を確立すること。
• 新しい関数クラスに対して Fekete-Szegő 不等式を導出し、既知の単一値関数論における結果を一般化すること。
• $q$-微積分および双一価関数の文脈において、既存の係数境界を統合・拡張すること。
• Hankel 行列式および高階係数推定値に関する今後の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 単位円板内における解析関数に対して、Sálăgean 型 $q$-差分作用素 $\mathcal{D}_q^k f(z)$ を定義する。
• 劣微分条件を用いて、二つの新しい双一価関数の部分クラス $\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$ および $\mathcal{F}\Sigma_q^k(\mu,\phi)$ を導入する。
• 逆関数展開 $f^{-1}(w) = w - a_2 w^2 + (2a_2^2 - a_3)w^3 + \cdots$ を用いて、$f$ と $f^{-1}$ の係数を関連付ける。
• 一般関数 $\phi(z) = 1 + B_1 z + B_2 z^2 + \cdots$（$B_1 > 0$）を用いて、劣微分理論および係数推定値を適用する。
• 正の実部をもつ補助関数 $p(z)$ および $q(z)$ を用い、Schwarz の補題を応用して $a_2$ および $a_3$ の不等式を導出する。
• パrameter化された表現 $\Theta(\tau)$ および $\Phi(\tau)$ を用いて、$|a_3 - \tau a_2^2|$ を有界化する Fekete-Szegő 不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sálăgean 型 $q$-差分作用素を用いて定義された双一価関数の新しい部分クラスにおいて、初期係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い推定値は何か？
• RQ2 係数境界は、$q$, $k$, $\lambda$, $\mu$, および劣微分関数 $\phi(z)$ の係数 $B_1$, $B_2$ にどのように依存するか？
• RQ3 新しい関数クラスにおける Fekete-Szegő 不等式は何か？ また、既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ4 $q \to 1^-$ および $k=0$ のとき、結果はどのように古典的ケースに還元されるか？
• RQ5 この手法を用いて、高階の Hankel 行列式を計算する可能性は何か？

主な発見

• $|a_2|$ の推定値は、$|a_2| \leq \frac{B_1}{2(1+\lambda)[2]_q^k} \sqrt{\frac{1}{(1+\lambda)[2]_q^{2k} + (B_1 - B_2)[2]_q^{2k}}}$ で与えられ、特定の条件下で等号が成立する。
• $|a_3|$ の推定値は、$|a_3| \leq B_1 \left( \frac{B_1}{(1+\mu)^2[2]_q^{2k}} + \frac{1}{(1+2\mu)[3]_q^k} \right)$ であり、係数関係および劣微分制約から導出される。
• $\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$ における Fekete-Szegő 不等式は、$|a_3 - \tau a_2^2| \leq \max\left\{ \frac{B_1}{2(1+2\lambda)[3]_q^k}, 4B_1|\Theta(\tau)| \right\}$ であり、$|\Theta(\tau)|$ に依存する。
• $\mu = 0$ または $\mu = 1$ で、$\phi(z)$ が (1.3) や (1.4) で示される形に選ばれるとき、境界は強いたる星型関数および $\alpha$ または $\beta$ 階の星型関数に対する既知の推定値に還元される。
• $k=0$ かつ $q \to 1^-$ のとき、結果は以前の研究（例：[4, 6, 16]）における古典的係数境界を回復する。
• この枠組みにより、$a_4$ への係数解析を拡張することで、将来の Hankel 行列式の計算が可能になる。