[論文レビュー] Subclass of k-uniformly starlike functions defined by symmetric q-derivative operator

S. Kanas, Şahsene Altınkaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Analytic and geometric function theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称的 q-微分作用素を用いて、k-一様星型関数の新しい部分クラスを導入し、Hankel 行列式および係数の鋭い評価を確立している。q-微積分と解析関数論を活用することで、係数 a₂、a₃、a₄ に対する明示的な不等式を導出し、q→1⁻ の極限において古典的ケースに還元される。

ABSTRACT

The theory of $q$-analogs frequently occurs in a number of areas, including the fractals and dynamical systems. The $q$-derivatives and $q$-integrals play a prominent role in the study of $q$-deformed quantum mechanical simple harmonic oscillator. In this paper, we define a symmetric $q$-derivative operator and study new family of univalent functions defined by use of that operator. We establish some new relations between functions satisfying analytic conditions related to conical sections.

研究の動機と目的

• 対称的 q-微分作用素を用いて、k-一様星型関数の新しい部分クラスを定義し、その性質を考察すること。
• この新しいクラスに属する関数に関連する、放物型領域に関する解析的条件を確立すること。
• 第二および第三の Hankel 行列式の鋭い評価および係数の境界を導出すること。
• q-微積分と対称的 q-微分を組み合わせることで、単一関数論における古典的結果を一般化すること。
• q→1⁻ の極限におけるクラスの挙動を検討し、古典的複素解析における既知の結果がどのように回復されるかを明らかにすること。

提案手法

• z ≠ 0 に対して D̃_q f(z) = [f(qz) - f(q⁻¹z)] / [(q - q⁻¹)z] を定義し、z = 0 では f’(0) をとる。
• q-数 ṫ[n]_q = (qⁿ - q⁻ⁿ)/(q - q⁻¹) を用いて、f(z) = z + Σaₙzⁿ のべき級数への D̃_q の作用を表現する。
• 0 ≤ α < 1、k ≥ 0、0 < q < 1 を満たす条件下で、Re(zf’(z)/f(z)) > k|zf’(z)/f(z) - 1| + α を満たすことで、新しいクラス k- ST̃_q(α) を特徴付ける。
• パラメータ B および x（|x| ≤ 1）を含む関数的変換を用い、係数 a₂ および a₃ を P₁、P₂、q₂、q₃、q₄ で表現する。
• ρ ∈ [0,1] における最大モジュラス原理と最適化を用いて、B に関する二次式を介して Hankel 行列式 |a₂a₄ - a₃²| を評価する。
• 複素数および実数のパラメータ解析を用いて、係数評価 |a₃ - μa₂²| を導出し、q₂、q₃、P₁、P₂ に依存する境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的 q-微分作用素を用いて、k-一様星型関数の新しい部分クラスをどのように定義できるか？
• RQ2 新しいクラス k- ST̃_q(α) における Hankel 行列式 |a₂a₄ - a₃²| の鋭い評価は何か？
• RQ3 係数評価 |a₃ - μa₂²| は、複素数パラメータ μ および q-パラメータにどのように依存するか？
• RQ4 q → 1⁻ の極限において、クラス k- ST̃_q(α) の挙動はどのようなものか？また、古典的 k-星型関数とどのように関係するか？
• RQ5 第一の Hankel 行列式および第三の係数について、q および α の関数として明示的な境界は何か？

主な発見

• Hankel 行列式 |a₂a₄ - a₃²| は、P₁、P₂、q₂、q₃、q₄ を含む式によって評価され、ρ = 1 で最大値をとる。
• q → 1⁻ の極限において、クラス k- ST̃_q(α) は古典的 k-星型関数（順序 α）に収束し、既知の境界 |a₂a₄ - a₃²| ≤ 16/π² が回復される。
• 複素数 μ に対して、係数評価 |a₃ - μa₂²| は (P₁²|q₂ - μq₃| + P₂q₂²)/(q₂²q₃) によって評価され、μ に関する明示的な実数値境界が導出される。
• 実数 μ に対して、境界 |a₃ - μa₂²| は、μ が q(q² - q + 1)/(q⁴ + 1) に対して相対的に位置するかによって区分的に定義され、q、P₁、P₂ に依存する明示的表現が得られる。
• 第一の Hankel 行列式は、|a₃ - a₂²| ≤ (q²(P₂ + P₁²q))/(q⁴ + 1) - (P₁²q²)/(q² - q + 1) を満たす。
• 第三の係数は、|a₃| ≤ q²(P₂ + P₁²q)/(q⁴ + 1) を満たし、α = 0 のとき P₁ = 8/π² である。