[論文レビュー] Subconvexity for sup-norms of automorphic forms on PGL(n)

Valentin Blomer, Péter Maga|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\rm PGL(n)$ 上の $L^2$-正規化 Hecke Maaß カスプ形式の $L^\infty$-ノルムに対して、$\rm GL(n)$ の高ランク設定における増幅法、トレース公式、ディオファントス近似を用いて、$\Omega$ に関する $\delta = \delta_n > 0$ を用いて、$\mathrm{Norm}{F|_{\rm 仮想的}}}_{\rm sup} \ll_{\Omega} N^{\varepsilon} \lambda_F^{n(n-1)/8 - \delta}$ の形の部分凸界を確立する。この結果は、無限遠点における Ramanujan 猜測が成り立つ場合、任意のランク $n \geq 2$ における $L^\infty$-ノルムの部分凸性問題を解決する。

ABSTRACT

We prove the subconvexity conjecture for sup-norms of automorphic forms for congruence subgroups of SL(n, Z) that satisfy the Ramanujan conjecture at infinity.

研究の動機と目的

• $\Gamma_0(N)\backslash\rm PGL(n,\mathbb{R})/PO_n$ 上の $L^2$-正規化 Hecke Maaß カスプ形式の $L^\infty$-ノルムに対する部分凸界を確立すること。
• 無限遠点における Ramanujan 猜測のもとで、$\lambda_F^{n(n-1)/8}$ の凸界よりも厳密に遅く成長する $\sup$-ノルムを証明すること。
• $\rm SL_2$ のようなランク1の場合の結果を、任意の高ランク $\rm PGL(n)$ に拡張し、理論における主要な空白を埋めること。
• $n$ にのみ依存する正の $\delta_n > 0$ を持つ定量的で部分凸の指数 $n(n-1)/8 - \delta_n$ を、局所対称空間のコンpakト部分集合上で有効であるように提供すること。
• 増幅法、トレース公式、ディオファントス近似を組み合わせた、未解決のランク設定における $\sup$-ノルムを制御する新しい手法を開発すること。

提案手法

• Hecke 演算子の重み付き和を用いて、スペクトル分解とトレース公式の技術を活用することで、$\sup$-ノルムの局所化を増幅法により行う。
• Kuznetsov 公式を適用して、スペクトル和を Kloosterman 和に結びつけることで、トレース公式のスペクトル側の制御を可能にする。
• $Q_k^*$-良い素数とネストされた集合 $\tilde{\mathcal{P}}^*_{k+1}$ を用いた再帰的ディオファントス近似の議論を実装し、合同式の解の数を上界で制御する。
• $m \ll \mathcal{L}^{c_8 D_1^k}$ を法とする合同条件を満たす素数の集合 $\mathcal{P}$ を構成し、算術級数内の素数に関する Linnik 型推定を用いて十分な大きさを保証する。
• 中国剰余定理と二次相互法則を用いて、$\mathcal{P}$ に関する条件を滑らかな数 $m$ を法とする合同式の系として符号化する。
• $\eta > 0$ を十分に小さく選ぶことで、$L_0 = \left( \frac{10\log N}{|\textbf{c}(\mu)|^\eta} \right)^{(D_1 D_2)^{i+1} D_1^{k+1}}$ として定義されるパラメータ $L_0$ を用いて誤差項を制御し、指数を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ の高ランク $\rm PGL(n)$ において、自動形式の $\sup$-ノルムに対する部分凸界を確立できるか？
• RQ2 $\Gamma_0(N)\backslash\rm PGL(n,\mathbb{R})/PO_n$ 上の $L^2$-正規化 Hecke Maaß カスプ形式の $\sup$-ノルムは、凸界 $\lambda_F^{n(n-1)/8}$ よりも厳密に遅く成長するか？
• RQ3 無限遠点における Ramanujan 猜測は、高ランクにおける $\sup$-ノルムの部分凸性を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ4 ディオファントス近似技法は、$n$ が増加しても $\rm GL(n)$ における合同式の解の数を制御するために拡張可能か？
• RQ5 すべての $n \geq 2$ に対して、$\delta_n > 0$ を持つ一様な部分凸指数 $n(n-1)/8 - \delta_n$ が存在するか？

主な発見

• 本稿は、任意の $n \geq 2$ に対して、$\Gamma_0(N)\backslash\rm PGL(n,\mathbb{R})/PO_n$ 上の $L^2$-正規化 Hecke Maaß カスプ形式の $L^\infty$-ノルムに対する、初めての部分凸界を確立する。
• 無限遠点における Ramanujan 猜測のもとで、ある $n$ にのみ依存する正の $\delta_n > 0$ を用いて、$\|F|_{\Omega}\|_{\infty} \ll_{\Omega} N^{\varepsilon} \lambda_F^{n(n-1)/8 - \delta_n}$ が成り立つ。
• 指数 $n(n-1)/8 - \delta_n$ は、凸界 $n(n-1)/8$ よりも厳密に小さいため、この高ランク設定における部分凸性予想が確認された。
• 手法は、$\rm GL(n)$ における合同式の解の数を制御するための、新規の増幅スキームと再帰的ディオファントス近似の議論に依存している。
• 良い素数の集合 $\mathcal{P}$ の大きさは $\gg \mathcal{L}^{\frac{1}{2} D_1^{k+1}}$ であることが示され、増幅法の成功に十分な密度を保証する。
• 最終的な境界は、$L_0$ の定義における $\eta > 0$ を十分に小さく選ぶことで達成され、誤差項が主項よりも速く減少するようにする。これにより、定理1の証明が完了する。