[論文レビュー] Subexponential and FPT-time Inapproximability of Independent Set and Related Problems

Bruno Escoffier, Eun Jung Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2012

Numerical Methods and Algorithms参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、線形PCP予想が成り立つならば、独立集合や関連問題について、サブ指数的時間 $2^{o(n)}$ でさえも定数近似を超えることは不可能であることを示す、条件付き近似不可能性の結果を確立している。これらの結果は、拡散グラフによるギャップ拡大と、指数的時間仮説（ETH）の下での3-SATへの還元に依拠している。

ABSTRACT

Fixed-parameter algorithms, approximation algorithms and moderately exponential algorithms are three major approaches to algorithms design. While each of them being very active in its own, there is an increasing attention to the connection between different approaches. In particular, whether Maximum Independent Set would be better approximable once endowed with subexponential-time or FPT-time is a central question. In this paper, we present a strong link between the linear PCP conjecture and the inapproximability, thus partially answering this question.

研究の動機と目的

• 独立集合のような極めて近似不可能な問題が、サブ指数的時間またはFPT時間において近似可能になるかどうかを調査すること。
• 特にETHおよび線形PCP予想を含む広く受け入れられた複雑性仮定の下で、条件付き近似不可能性の結果を確立すること。
• PCP理論とこれらの時間枠における近似不可能性を結びつけることで、近似アルゴリズム、固定パラメータアルゴリズム、中程度の指数的アルゴリズムの間のギャップを埋めること。
• 多項式時間における近似の困難さが、サブ指数的時間またはFPT時間においても継続するかどうか、特に独立集合、頂点被覆、彩色問題について検討すること。
• 妥当な複雑性仮定の下で、FPT時間またはサブ指数的時間における近似アルゴリズムが、多項式時間のものよりも優れた比を達成できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 拡散グラフの構造を活用して、満たせると満たせないインスタンス間のギャップを拡大する、ギャップを保つ変換を用いて、3-SATインスタンスを独立集合や関連問題に還元する。
• 指数的時間仮説（ETH）を適用して、独立集合や関連問題の特定の比でのサブ指数的時間近似を排除する。
• 線形PCP予想（LPC）を用いて近似不可能性の結果を強化し、LPCが成り立つならば、$2^{o(n)}$-時間アルゴリズムですら定数比を超える近似は不可能であることを示す。
• 頂点被覆からMin-Satへの還元を用いて、近似比とインスタンスサイズを線形要因まで保ちながら、他の問題へ近似不可能性の結果を転送する。
• 拡散グラフによるギャップ拡大技術を用いて、定数ギャップPCPを、超定数ギャップを持つ線形サイズのインスタンスに変換し、より強い近似不可能性の境界を得る。
• 既知のPCP構成とパラメータ化複雑性理論を組み合わせ、特に独立支配集合および支配集合のFPT時間における近似不可能性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間で近似不可能な問題が、サブ指数的時間でよく近似可能になるか？
• RQ2 パラメータ化複雑性フレームワークは、多項式時間のアルゴリズムよりも独立集合のような問題に対してより優れた近似比を達成可能か？
• RQ3 線形PCP予想が、サブ指数的時間またはFPT時間における独立集合の近似不可能性に与える影響は何か？
• RQ4 解のサイズが $k$ である場合に、FPT時間アルゴリズムが独立集合に対して非定数比の近似を達成できるか？
• RQ5 FPT時間における近似不可能性と、線形PCP予想のようなより強いPCP定理との間に、つながりはあるか？

主な発見

• 指数的時間仮説（ETH）のもとでは、独立集合は任意の $ u > 0$ に対して時間 $2^{n^{1- u}}$ では任意の定数比に近似できない。
• 線形PCP予想が成り立つならば、$2^{o(n)}$-時間アルゴリズムでも、独立集合は任意の定数比に近似できない。
• FPT ≠ W[2] を仮定すると、独立支配集合のFPT時間における近似不可能性が成立し、$g(k)$ が無限大であっても成り立つ。
• 同じ近似不可能性の結果は、集合パッキング、二部グラフ部分集合、彩色、頂点被覆に対しても、ETHおよび線形PCP予想の下で成立する。
• 拡散グラフによるギャップ拡大により、定数ギャップPCPを、超定数ギャップを持つ線形サイズのインスタンスに変換でき、より強い近似不可能性の境界を得られる。
• 頂点被覆からMin-Satへの還元は、近似比を保ち、インスタンスサイズが線形に増加する範囲で、問題間での近似不可能性の結果を転送可能である。