[論文レビュー] Subgroups and quotient groups of automorphism groups of RAAGs

Ruth Charney, Karen Vogtmann|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、右側アーティン群（RAAG）の外部自己同型群の部分群と商群を調査し、すべてのRAAGに対して$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$が再帰的有限であることを証明するとともに、多くの均質的RAAGに対してティーツの代替的性質を満たすことを示している。さらに、特定の条件下で可解部分群はほぼアーベル的であることが示され、隣接する転送写像を除いた部分群$\widetilde{\mathrm{Out}}(A_\Gamma)$が強いティーツの代替的性質を満たすことが特定された。

ABSTRACT

We study subgroups and quotients of outer automorphism groups of right-angled Artin groups (RAAGs). We prove that for all RAAGS, the outer automorphism group is residually finite and, for a large class of RAAGs, it satisfies the Tits alternative. We also investigate which of these automorphism groups contain non-abelian solvable subgroups.

研究の動機と目的

• 右側アーティン群（RAAG）の外部自己同型群$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$の部分群構造を理解すること。
• $\mathrm{Out}(A_\Gamma)$がティーツの代替的性質を満たす条件と、可解部分群の構造が有界である条件を特定すること。
• 定義グラフ$\Gamma$が$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$の有限性の性質と部分群の挙動に与える影響を調査すること。
• 隣接する転送写像を除外した場合の$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$の構造への影響、特に可解部分群および自由部分群との関係を分析すること。

提案手法

• 以前の研究で得られた制限写像および射影同型写像を用い、$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$に関するグローバルな問いをより小さな部分群に還元する。
• 定義グラフ$\Gamma$の次元に関する帰納法を用い、最大の頂点$v$に対して射影写像$P_v: \mathrm{Out}^0(A_\Gamma) \to \mathrm{Out}^0(A_{\mathrm{lk}[v]})$を適用する。
• 特にリーフ転送写像を含む隣接する転送写像を除外することで、部分群$\widetilde{\mathrm{Out}}^0(A_\Gamma)$を導入する。
• 無限位数の元の移動長の分析を用い、$\widetilde{\mathrm{Out}}^0(A_\Gamma)$において正の性質を確立し、強いティーツの代替的性質を証明する上で重要なステップを達成する。
• ベストヴィナ、コンナー、ゲルステン–ショートの結果（正の、ほぼねじれのない群で、有限生成アーベル部分群を持つ群）を応用し、可解部分群がほぼアーベル的であることを結論づける。
• 群$\mathrm{Out}(F_n)$および$GL(n,\mathbb{Z})$が有限生成アーベル部分群を持つことを利用し、$\Gamma$が均質的である場合に$\mathrm{Out}^0(A_\Gamma)$に対しても同様の性質が帰納的に成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Out}(A_\Gamma)$はすべてのRAAGに対して再帰的有限か？
• RQ2 $\Gamma$が均質的である場合、$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$はティーツの代替的性質を満たすか？
• RQ3 均質的$\Gamma$における$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$の可解部分群の最大の仮想的導出長は何か？
• RQ4 すべての可解部分群が$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$でほぼアーベル的であるための条件は何か？
• RQ5 隣接する転送写像を除外して得られる部分群$\widetilde{\mathrm{Out}}(A_\Gamma)$は、強いティーツの代替的性質を満たすか？

主な発見

• すべてのRAAGに対して、制限写像と帰納法を用いた証明により、$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$は再帰的有限である。
• もし$\Gamma$が均質的であれば、$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$はティーツの代替的性質を満たす。つまり、任意の部分群はほぼ可解的か、非アーベル自由群を含む。
• 均質的$\Gamma$の場合、$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$における可解部分群の仮想的導出長は有界であり、その上限は$\Gamma$の次元に依存する。
• 隣接する転送写像を除外することで得られる部分群$\widetilde{\mathrm{Out}}^0(A_\Gamma)$では、すべての無限位数の元に対して正の移動長が成り立つ。
• その結果、$\widetilde{\mathrm{Out}}(A_\Gamma)$は強いティーツの代替的性質を満たす：任意の部分群はほぼアーベル的か、非アーベル自由群を含む。
• もし$\Gamma$が連結で、三角形を含まず、葉がなければ、すべての可解部分群は$\mathrm{Out}(A_\Gamma)$でほぼアーベル的であり、この場合$\widetilde{\mathrm{Out}}(A_\Gamma) = \mathrm{Out}(A_\Gamma)$となる。