[論文レビュー] Subgroups of free idempotent generated semigroups: full linear monoid

Mark Brittenham, Stuart Margolis+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、除法体 $Q$ 上の全線形モノイド $M_n(Q)$ における自由冪等生成半群の極大部分群を分析するための位相的道具を開発する。特に、ランク1の冪等行列に対応する極大部分群が乗法群 $Q^*$ に同型であることを証明し、この文脈における非自由群の明示的実現を提供するとともに、このような半群における部分群構造の理解を深める。

ABSTRACT

We develop some new topological tools to study maximal subgroups of free idempotent generated semigroups. As an application, we show that the rank 1 component of the free idempotent generated semigroup of the biordered set of a full matrix monoid of n x n matrices, n>2$ over a division ring Q has maximal subgroup isomorphic to the multiplicative subgroup of Q.

研究の動機と目的

• 自由冪等生成半群（FIGS）の極大部分群を研究するための新しい位相的道具を開発すること。
• 除法体 $Q$ 上の全線形モノイド $M_n(Q)$ の双偏位相集合から生じるFIGSにおける極大部分群の構造を特定すること。
• IG(E(M_n(Q))) におけるランク1冪等行列に対応する極大部分群の同型型を解明すること。
• 全線形モノイド $M_n(Q)$ の双偏位相集合に関連するグレーハム＝ハウトン2次複体の位相的性質を調査すること。
• 実験的証拠に基づき、中間ランクの冪等元（$1 < k < n-1$）に対応する極大部分群が $GL_k(Q)$ に同型であるかどうかを検討すること。

提案手法

• 著者たちは、正則な双偏位相集合 $E$ に関連するグレーハム＝ハウトン2次複体 $GH(E)$ を用い、その基本群が $IG(E)$ の極大部分群に対応することを用いる。
• ランク1冪等行列とその双対をパラメトライズする複体 $K_{n,1}$ の1次スケルトンの普遍被覆を分析し、それが単連結であることを示す。
• $K_{n,1}$ の1次スケルトンが単連結であることを証明することで、その連結成分の基本群が $Q^*$ に同型であることを導く。
• 証明は $n$ を変数とする帰納法を用い、エッジパスのホモトピーと4サイクルの操作により、すべてのエッジがスパニングツリー内のパスにホモトープであることを示す。
• 被覆空間理論と群作用を応用し、普遍被覆が単連結であれば、基本群が $RIG(E)$ の極大部分群に同型であることを示す。
• この手法は、$k$-平面上下の構造として頂点を解釈し、エッジを接続関係として解釈するグレイスマン多様体の文脈における幾何的・組合せ的技法に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IG(E(M_n(Q))) におけるランク1冪等行列に対応する極大部分群の同型型は何か？
• RQ2 特に被覆空間と基本群を用いた位相的手法が、自由冪等生成半群における極大部分群の構造を特定するために用いられるか？
• RQ3 IG(E(M_n(Q))) におけるランク$k$ 冪等行列に対応する極大部分群は、$1 < k < n-1$ のとき $GL_k(Q)$ に同型か？
• RQ4 ランク$n-1$ 冪等元に対応する極大部分群が自由群であるのはなぜか？これは $GL_{n-1}(Q)$ が非自由であるのと矛盾する。
• RQ5 中間 $k$ における部分複体 $\widetilde{K}_{n,k}$ の位相的複雑性を解析することで、群構造を明らかにできるか？

主な発見

• IG(E(M_n(Q))) におけるランク1冪等行列に対応する極大部分群は、除法体 $Q$ の乗法群 $Q^*$ に同型である。
• ランク1冪等行列に関連する複体 $K_{n,1}$ の1次スケルトンの普遍被覆は単連結であり、これにより基本群が $Q^*$ に同型であることが示唆される。
• 証明は、すべてのエッジが4サイクル変換の系列を経てスパニングツリー内のパスにホモトープであることを示すことに依存する。
• $n > 2$ のとき、複体 $K_{n,1}$ は連結であり、その普遍被覆は単連結であるため、位相的構造が群同型を裏付ける。
• ランク$n-1$ 冪等元に対応する極大部分群は自由群であるが、これは $GL_{n-1}(Q)$ に同型であるという期待とは矛盾する。
• 著者らは、$1 < k < n-1$ かつ $k < n/2$ のとき、IG(E(M_n(Q))) におけるランク$k$ 冪等元に対応する極大部分群が $GL_k(Q)$ に同型であると予想しているが、これはまだ未解決のままである。