[論文レビュー] Subharmonicity properties of the Bergman kernel and some other functions associated to pseudoconvex domains

Bo Berndtsson|ArXiv.org|May 23, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、擬強凸領域 D ⊂ ℂ^k × ℂ^n と擬強凸重み関数 φ に対して、Bergman 核の対数 log K_t(z,z) がパラメータ t に関して多重正下調和であることを確立する。Prekopa の定理を複素幾何に一般化し、重み φ に関する正則 L² 関数の積分が、多重正下調和な log-核関数を導くことを証明する。これは、実領域における Robin 関数やエネルギー積分に関する結果を拡張する。主な貢献は、凸解析における凸性定理の複素解析的類似物である。

ABSTRACT

Let $D$ be a pseudoconvex domain in $\C^k_t imes\Cn_z$ and let $ϕ$ be a plurisubharmonic function in $D$. For each $t$ we consider the $n$-dimensional slice of $D$, $D_t=\{z; (t,z)\in D\}$, let $ϕ^t$ be the restriction of $ϕ$ to $D_t$ and denote by $K_t(z,ζ)$ the Bergman kernel of $D_t$ with the weight function $ϕ^t$. Generalizing a recent result of Maitani and Yamaguchi (corresponding to $n=1$ and $ϕ=0$) we prove that $\log K_t(z,z)$ is a plurisubharmonic function in $D$. We also generalize an earlier results of Yamaguchi concerning the Robin function and discuss similar results in the setting of $\Rn$.

研究の動機と目的

• n=1 から一般の n 次元スライスへの Maitani と Yamaguchi の log Bergman 核の多重正下調和性に関する結果の一般化を目的とする。
• 凸性を多重正下調和性に置き換え、ラプラシアン核を ∂̄-コホモロジーに置き換えることで、Prekopa の凸性定理の複素解析的類似物を確立すること。
• 実凸領域における Robin 関数とエネルギー積分に関する結果を、擬強凸複素領域へ拡張すること。
• log K_t(z,z) の多重正下調和性を応用し、与えられた多重正下調和関数の特異性を弱める新しい多重正下調和関数の構成をすること。
• 幾何的条件 (C) の下で、実領域におけるエネルギー積分と Robin 関数の凸性を証明し、凸解析からの結果を一般化すること。

提案手法

• 擬強凸領域 D ⊂ ℂ^k × ℂ^n の n 次元スライス D_t における重み φ^t に関する Bergman 核 K_t(z,ζ) を定義する。
• L²-随伴作用素 ∂̄* と Hörmander の L² 評価を用いて、∂̄ 演算子の性質を解析し、log K_t(z,z) が D 内で多重正下調和であることを証明する。
• Hörmander の L² 評価を用いて、e^{-φ} の局所可積分性と非自明な正則関数の存在を関連づけ、Bergman 核の構成を可能にする。
• 関数 ψ(a,z) = φ(z) + (n-1)log|z−a| を導入し、新たな Bergman 核を定義し、その対数的特異性の挙動を研究する。
• 固定された測度 μ に対してエネルギー積分 u(t) = ∫_{D_t} G_t(x,ξ) dμ(x)dμ(ξ) を分析し、条件 (C) の下で t に関して凸であることを示す。
• 領域 D における条件 (C) を、境界上で (n+1,n+1)-形式 dρ ∧ d#ρ ∧ dd#ρ ∧ ω′_{n−1} の正定性として定義し、エネルギーおよび Robin 関数の凸性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の n ≥ 1 に対して、重み φ^t を持つ Bergman 核の対数 log K_t(z,z) は、パラメータ t に関して多重正下調和か？
• RQ2 実解析における Prekopa の凸性定理を、多重正下調和関数と ∂̄-コホモロジーを用いて複素幾何に拡張できるか？
• RQ3 滑らかに有界な凸領域の ℝ^n 内で、Robin 関数はスライスの平行移動に対して凸のままであるか？
• RQ4 Bergman 核を用いて、多重正下調和関数の特異性構造を変更し、Lelong 数を制御できるか？
• RQ5 ℝ^{n+1} 内の領域 D に対して、何の幾何的条件下で、固定された測度のエネルギー積分がスライスパラメータ t に関して凸になるか？

主な発見

• log K_t(z,z) は D 内で多重正下調和、または恒等的に −∞ であり、Maitani と Yamaguchi の n=1 の場合を一般化する。
• D_t と φ^t が回転対称であるとき、−log|D_t| は多重正下調和であり、Santaló 不等式の証明に用いられる結果を回復する。
• すべての p > 0 に対して、p ↦ −log ∫_{D_t} e^{-pφ(t,ξ)} dξ は多重正下調和であり、これにより多重正下調和関数の Kiselman の最小原理が導かれる。
• ψ^a(z) = φ(z) + (n−1)log|z−a| を用いて定義される χ(a) = log K_a(a,a) は多重正下調和であり、φ が Lelong 数 ≥1 を持つ点にちょうど対数的特異性を持つ。
• 条件 (C) の下で、エネルギー積分 u(t) = ∫_{D_t} G_t(x,ξ) dμ(x)dμ(ξ) は t に関して凸であり、Robin 関数も凸（条件 (C) が厳密に正であれば強い凸性を示す）。
• 凸領域 Ω ⊂ ℝ^n に対して、Robin 関数は強い凸性を示し、調和中心が一意に定まる。