[논문 리뷰] Sublinear Expectations and Martingales in discrete time

Samuel N. Cohen, Shaolin Ji외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 지배 확률 측도를 가정하지 않고 이산 시간에서의 하향 예측과 마르팅게일 이론을 개발하며, 기존의 옵셔널 스톱링 및 마르팅게일 수렴과 같은 고전 결과들을 비선형 설정으로 확장한다. 유한 상태 공간에서의 후행 확률 차분 방정식(BSDE)에 대한 존재성 및 비교 정리들을 수립하고, 드라이버 함수와 폴라르 집합의 동치성을 통해 하향 예측과 연결한다.

ABSTRACT

We give a theory of sublinear expectations and martingales in discrete time. Without assuming the existence of a dominating probability measure, we derive the extensions of classical results on uniform integrability, optional stopping of martingales, and martingale convergence. We also give a theory of BSDEs in the context of sublinear expectations and a finite-state space, including general existence and comparison results.

연구 동기 및 목표

• 지배 확률 측도를 가정하지 않고 이산 시간에서의 고전적 마르팅게일 이론을 하향 예측으로 일반화하는 것.
• 하향 마르팅게일에 대한 균일 적분 가능성과 수렴 이론을 개발하는 것.
• 유한 상태, 이산 시간 시스템에서의 후행 확률 차분 방정식(BSDE)에 대한 존재성 및 비교 결과를 수립하는 것.
• 주어진 하향 예측과 같은 폴라르 집합을 가진 모든 하향 예측이 특정 드라이버 함수를 가진 BSDE의 해로 표현될 수 있음을 보이는 것.
• 연속 시간 $G$-예측을 위한 기초를 이산 시간 근사에 기반하여 제공하는 것.

제안 방법

• 일致성, 단조성, 부분가법성에 기반해 하향 예측을 공리화하여 $ω$-일致하는 비선형 예측을 정의한다.
• 강건성 확보를 위해 단조 연속성(Fatou 성질)을 갖는 $ω$-SL-예측의 개념을 도입한다.
• $L^p$-공간 이론과 균일 적분 가능성을 적용하여 하향 마르팅게일을 구성하고 수렴 결과를 도출한다.
• 적응 과정과 직교 증분을 사용하여 이산 시간 마르팅게일 표현 정리를 유한 상태 공간에서 유도한다.
• 조건부 비선형 예측과 $G$-드라이버를 통해 BSDE의 드라이버 함수 $F$를 구성하여 하향성과 연속성을 보장한다.
• 귀납법과 비선형 예측의 정규성에 기반해 BSDE의 해가 유도된 드라이버와 함께 후행 동역학을 만족함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배 확률 측도를 가정하지 않고 하향 예측으로의 옵셔널 스토팅 및 마르팅게일 수렴을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이산 시간에서 하향 마르팅게일의 균일 적분 가능성과 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유한 상태 시스템에서 동일한 폴라르 집합을 가진 모든 하향 예측은 BSDE의 해로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이산 시간 $G$-예측은 어떤 방식으로 연속 시간 $G$-예측으로 근사화되는가?
• RQ5 주어진 하향 예측을 생성하는 BSDE의 드라이버 함수의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 하향 마르팅게일에 대한 두프 분해를 수립하여 고전 결과를 비선형 설정으로 확장한다.
• 최소한의 가정 하에서 $ω$-SL-예측에 대해 옵셔널 스토팅 및 마르팅게일 수렴 정리가 증명되며, 준연속 버전이 필요하지 않다.
• 유한 상태 공간에서는 유한 차원 마르팅게일 표현 정리가 성립하여 BSDE의 해를 명시적으로 구성할 수 있다.
• 기준 예측과 동일한 폴라르 집합을 가진 모든 $ω$-SL-예측은 특정 드라이버 함수를 가진 BSDE의 해로 표현될 수 있다.
• BSDE의 드라이버 함수 $F$는 하향성, 양의 동차성, 연속성을 만족하며 비교 정리의 조건을 충족함을 보였다.
• 이론은 연속 시간 $G$-예측을 위한 이산 시간 기반 기초를 제공하며, [9]와 마찬가지로 특정 극한에서 수렴이 기대됨을 시사한다.