[論文レビュー] Submodular problems - approximations and algorithms

Dorit S. Hochbaum|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、不等式制約に高々2つの変数が含まれる部分集合最小化問題（SM2）が多項式時間内で2-近似可能であることを確立しており、この近似誤差はNP=Pでない限り最良である。さらに、単調な制約（符号が反対の係数）は多項式時間での正確な解法を可能にし、完全単位行列制約（TU）はNP困難性を引き起こすことが示され、部分集合最小化における複雑さの重要な違いが明らかになった。

ABSTRACT

We show that any submodular minimization (SM) problem defined on a linear constraint set with constraints having up to two variables per inequality, are 2-approximable in polynomial time. If the constraints are monotone (the two variables appear with opposite sign coefficients) then the problems of submodular minimization or supermodular maximization are polynomial time solvable. The key idea is to link these problems to a submodular s,t-cut problem defined here. This framework includes the problems: SM-vertex cover; SM-2SAT; SM-min satisfiability; SM-edge deletion for clique, SM-node deletion for biclique and others. We also introduce here the submodular closure problem and and show that it is solvable in polynomial time and equivalent to the submodular cut problem. All the results are extendible to multi-sets where each element of a set may appear with a multiplicity greater than 1. For all these NP-hard problems 2-approximations are the best possible in the sense that a better approximation factor cannot be achieved in polynomial time unless NP=P. The mechanism creates a relaxed "monotone" problem, solved as a submodular closure problem, the solution to which is mapped to a half integral super-optimal solution to the original problem. That half-integral solution has the persistency property meaning that integer valued variables retain their value in an optimal solution. This permits to delete the integer valued variables, and restrict the search of an optimal solution to the smaller set of remaining variables.

研究の動機と目的

• 高々1つの制約に2つの変数が含まれる部分集合最小化問題（SM2）の近似可能性と複雑さを特定すること。
• SM2問題が多項式時間で解けるか、NP困難になる条件を同定すること。
• 整数重複度を伴う多重集合への結果の拡張。
• 部分集合クロージャ問題や部分集合カット問題といった新規問題の導入と分析。
• 部分集合最適化における単調な構造と完全単位行列制約構造の間の複雑さのギャップを明確にすること。

提案手法

• 可能な半整数解の丸め上昇性に基づくラウンディング技術を用いて、NP困難なSM2問題に対する一般化された2-近似アルゴリズムを提案する。
• 2-近似アルゴリズムを構築するための主要なサブルーチンとして、部分集合クロージャ問題を導入する。
• 単調な制約（符号が反対の係数）を有するSM2問題が、強多項式時間アルゴリズムにより多項式時間で解けることを証明する。
• スイッチング部分集合関数最小化（SSFM）を二部グラフ上のSM-頂点被覆問題に還元することで、完全単位行列制約下でのNP困難性を証明する。
• 多重集合に対しては、多重集合部分集合関数を定義し、近似アルゴリズムの実行時間が最大重複度Uに対して多項式的に依存することを示す。
• 部分集合関数および制約行列の構造的性質を用いて、異なる問題サブクラスにおける複雑さを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP困難なSM2問題の最良の近似比は何か？ そして、これは多項式時間内で達成可能か？
• RQ2 制約係数の条件（例：単調性）がSM2を多項式時間で解けるようにするにはどのようなものか？
• RQ3 SM2の複雑さは、1制約あたり2変数の整数線形計画法と比べてどう異なるか？
• RQ4 部分集合クロージャ問題は強多項式時間で解けるか？ また、それがより広範な近似結果を可能にする仕組みは何か？
• RQ5 完全単位行列制約行列の存在が、線形計画法とは異なり、部分集合最小化では多項式時間解法を保証しないのはなぜか？

主な発見

• 丸め上昇性を有するか、単調な制約を有するすべてのSM2問題は、多項式時間内で2-近似可能である。
• SM2問題の2-近似誤差は、NP=Pでない限り最良である。
• 単調な制約（符号が反対の係数）を有するSM2問題は、強多項式時間で解ける。
• 完全単位行列制約行列上での部分集合最小化はNP困難であるが、同様の構造を持つ整数線形計画法は多項式時間で解ける。
• 部分集合クロージャ問題は多項式時間で解けるが、2-近似フレームワークのコアサブルーチンとして機能する。
• 結果は多重集合へ拡張可能であり、実行時間は最大重複度Uに対して多項式的であるが、この依存関係はNP=Pでない限り削除できない。