[論文レビュー] Subquadratic Encodings for Point Configurations

Jean Cardinal, Timothy M. Chan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平面における実現可能な順序型の点集合に対して、O(log n / log log n) 時間の方向性クエリをサポートする O(n²(log log n)² / log n) ビットの最初の部分二次的符号化を提示する。抽象的順序型では O(n²) ビットの空間最適性と O(log n) クエリ時間の両方を達成し、階層的カットティングおよび凸体と超平面配置の再帰的分解を用いて高次元に一般化される。

ABSTRACT

For many algorithms dealing with sets of points in the plane, the only relevant information carried by the input is the combinatorial configuration of the points: the orientation of each triple of points in the set (clockwise, counterclockwise, or collinear). This information is called the order type of the point set. In the dual, realizable order types and abstract order types are combinatorial analogues of line arrangements and pseudoline arrangements. Too often in the literature we analyze algorithms in the real-RAM model for simplicity, putting aside the fact that computers as we know them cannot handle arbitrary real numbers without some sort of encoding. Encoding an order type by the integer coordinates of a realizing point set is known to yield doubly exponential coordinates in some cases. Other known encodings can achieve quadratic space or fast orientation queries, but not both. In this contribution, we give a compact encoding for abstract order types that allows efficient query of the orientation of any triple: the encoding uses O(n^2) bits and an orientation query takes O(log n) time in the word-RAM model with word size w >= log n. This encoding is space-optimal for abstract order types. We show how to shorten the encoding to O(n^2 {(log log n)}^2 / log n) bits for realizable order types, giving the first subquadratic encoding for those order types with fast orientation queries. We further refine our encoding to attain O(log n/log log n) query time at the expense of a negligibly larger space requirement. In the realizable case, we show that all those encodings can be computed efficiently. Finally, we generalize our results to the encoding of point configurations in higher dimension.

研究の動機と目的

• 最小限のビット数で点配置を符号化するコン pact なデータ構造を設計し、高速な方向性クエリをサポートすること。
• 実現可能な順序型の情報理論的下界と実用的符号化の間のギャップを埋めること。
• 実現可能な順序型に対して部分二次的空間を達成しつつ、効率的なクエリサポートを実現し、従来の O(n²) 符号化を改善すること。
• 階層的カットティングおよび凸体の再帰的分解を用いて、符号化を高次元点配置に一般化すること。
• コン pact 符号化と一般位置テストなどの基本的問題に対する非一様部分二次的アルゴリズムとの関係を調査すること。

提案手法

• 高次元における空間複雑度の低減のために、階層的カットティングおよび凸体の再帰的分解を用いる。
• ワード-RAM モデルを適用し、抽象的順序型に対して O(n²) ビットで O(log n) クエリ時間を達成する。
• r = Θ(td−2 log t) の精密な符号化を用いて、実現可能な順序型に対してクエリ時間を O(log n / log log n) に短縮する。
• 点集合と超平面配置の双対性を活用し、方向性クエリを交差クエリとしてモデル化する。
• d次元問題を2次元問題に再帰的に還元し、2次元符号化で基本ケースを解き、空間効率の良いデータ構造を用いて結果を統合する。
• 実現可能な順序型に最適化された許容可能な列およびワイヤリング図に基づく、部分二次的空間を達成する新しい符号化フレームワークを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実現可能な順序型は、高速な方向性クエリをサポートしつつ、部分二次的空間に符号化可能か？
• RQ2 実現可能な順序型に対して、部分二次的空間で O(log n / log log n) クエリ時間を達成することは可能か？
• RQ3 階層的カットティングおよび再帰的分解を用いて、2次元符号化を高次元に一般化できるか？
• RQ4 順序型のコン pact 符号化は、一般位置テストに対する非一様部分二次的アルゴリズムを導くことができるか？
• RQ5 抽象的および実現可能な順序型を符号化するために必要な最小空間は何か？ また、情報理論的下界にどれほど近づけるか？

主な発見

• 本稿では、O(log n / log log n) クエリ時間と O(n²(log log n)² / log n) ビットを用いて、実現可能な順序型の最初の部分二次的符号化を提示する。
• 抽象的順序型では、ワード-RAM モデルで O(n²) ビットの空間最適性と O(log n) クエリ時間を達成する。
• 符号化は実-RAM モデルで O(n²) 時間で構築可能であり、実現可能な配置のための効率的な事前処理を可能にする。
• 本手法はd次元点配置に一般化され、凸体との交差クエリに対して O(nd−1 log n) 空間と O(d) クエリ時間を達成する。
• 事前処理時間が代数的意思決定木モデルにおける既知の最良上界と一致するため、一般位置テストに対する非一様部分二次的アルゴリズムへの新たな道筋を提供する。
• 結果から、コン pact 符号化が意思決定木をシミュレートできることを示し、符号化の効率とアルゴリズム的複雑度の上限との関係を結ぶ。