[논문 리뷰] Subshifts from sofic shifts and Dyck shifts, zeta functions and topological entropy

Kokoro Inoue, Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 12.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특정 길이 2 단어를 제거함으로써 소피식 이ands와 딕 시프트에서 유도된 코드화된 서브시프트의 클래스를 소개하고, 그들의 제타 함수와 위상적 엔트로피에 대한 정확한 표현을 유도한다. 주요 기여는 딕 유사 구조에서 유도된 순환 코드의 생성 함수에 대한 폐쇄형 공식을 제공함으로써, J, K, L, N 등의 매개변수를 포함한 유리 함수 및 대수적 표현을 통해 제타 함수와 엔트로피를 정확히 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We introduce a class of coded systems that we construct from sofic systems and Dyck shifts and we study a class of subshifts that we obtain by excluding words of length two from Dyck shifts. We derive expressions for zeta functions and topological entropy. We derive an expression for the zeta function of certain subshifts that we obtain by excluding words from Dyck shifts and of certain subshifts that we obtain by excluding words from the subshifts that are constructed from full shifts and Dyck shifts.

연구 동기 및 목표

• 특정 길이 2의 단어를 제거함으로써 소피식 이ands와 딕 시프트를 수정하여 새로운 코드화된 시스템을 구축하기.
• 이러한 새로운 서브시프트의 역학적 성질—특히 제타 함수와 위상적 엔트로피—를 분석하기.
• 금지된 단어가 제어되는 매개변수화된 서브시프트 가족을 도입함으로써 기존의 딕 시프트 및 모츠킨 시프트에 대한 결과를 일반화하기.
• 수정된 서브시프트의 주기적 점들과 구성 요소 서브시프트의 주기적 점들 사이에 이분법적 대응 관계를 설정하여 제타 함수 분해를 가능하게 하기.
• 순환 코드의 생성 함수에 대한 폐쇄형 대수적 표현을 도출함으로써 정확한 제타 함수 및 엔트로피 공식을 도출하기.

제안 방법

• 저자들은 딕 시프트와 전체 시프트 및 딕 시프트에서 구성된 서브시프트에서 특정 길이 2의 단어를 제거하여 서브시프트를 정의한다.
• 유한 집합 Γ의 기호를 사용하는 레이블링 체계를 도입하고, 딕 유사 구조를 모델링하기 위해 역 모노이드 관계를 정의한다.
• 순환 코드와 그 생성 함수의 개념을 사용하여, g(C,z)에 대한 공식 ζ_Y(z) = 1 / (1 - g(C,z))를 통해 제타 함수를 도출한다.
• Ω와 Γ의 기호를 포함하는 금지된 단어를 제거함으로써 보조 서브시프트 Y⁺, Y⁻, Ỹ를 구성하고, 유리 생성 함수를 사용하여 그들의 제타 함수를 유도한다.
• 높이 함수 η와 ϑ(γ(-)) = γ(+)를 포함하는 대체 규칙을 사용하여 수정된 서브시프트 Ỹ의 주기적 점들과 구성 요소 서브시프트의 주기적 점들 사이에 이분법적 대응 관계를 설정한다.
• 최종 제타 함수는 구성 요소 생성 함수를 조합하고 이차 방정식을 풀어, 매개변수 J, K, L, N에 대한 g(C,z)에 대한 대수적 표현을 도출함으로써 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딕 시프트와 소피식 이ands에서 특정 길이 2의 단어를 제거할 경우 서브시프트의 제타 함수와 위상적 엔트로피는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 금지된 단어가 도입된 딕 시프트에서 유도된 코드화된 시스템의 제타 함수는 폐쇄형으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 수정된 서브시프트의 주기적 점의 구조와 원래의 딕 및 소피식 구성 요소의 주기적 점의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 결과로 얻어진 순환 코드의 생성 함수는 J, K, L, N 등의 매개변수에 대해 어떻게 대수적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 수정된 시스템의 제타 함수가 알려진 서브시프트의 유리 함수로 분해되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 서브시프트 Ỹ의 제타 함수는 유리 표현식 ζ_Ỹ(z) = 1 / [((1 - K z²)(1 - J z) - N z (1 + (L - K) z²)) q(z²) ∑_{0≤r<π} K^r z^{2r}] 로 주어진다.
• 순환 코드 C에 대한 생성 함수 g(C,z)는 이차 방정식의 해로 유도되며, g(C,z) = ½[1 - J z + N(L - K) z³ - √((1 - J z + N(L - K) z³)² - 4 N L z³ (1 - J z))] 로 주어진다.
• 위상적 엔트로피 h(X)는 허용 가능한 단어의 수의 지수적 증가율로 계산되며, h(X) = lim_{n→∞} (1/n) log card(L_n(X)) 로 주어진다.
• 서브시프트 Y⁺의 제타 함수는 ζ_Y⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(N z²) (1 - N^π K^π z^{2π})] 로 주어진다.
• 서브시프트 Ỹ⁺의 제타 함수는 ζ_Ỹ⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(z²) (1 - K^π z^{2π})] 로 주어진다.
• 논문은 Ỹ의 주기적 점들과 Y⁻, Y(C⁻), Y(C⁺), Y⁺의 주기적 점들의 합집합 사이에 이분법적 대응 관계를 설정하였으며, 이는 주기를 유지하고 제타 함수 분해를 가능하게 한다.