[論文レビュー] Substitution shifts generated by $p$-adic integer sequences

Eric Rowland, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、すべての α ≥ 0 に対して p^α を法として p-自動的系列に射影する p-整数列を用いて、無限のアルファベットにおける置換シフトを分析するフレームワークを導入する。Z^N_p におけるシフト軌道閉包を研究することで、これらの系が非可算アルファベット上の定長置換の文字列ごとの符号化であることが示され、p-整数の力学と無限アルファベットにおける記号的力学の間の構造的リンクが確立される。

ABSTRACT

We set the stage for studying some substitution shifts defined on an infinite alphabet. We consider sequences of p-adic integers that project modulo pα to a p-automatic sequence for every α ≥ 0. Examples include algebraic sequences of integers, which satisfy this property for any prime p, and some cocycle se-quences, which we show satisfy this property for a fixed p. By considering the shift-orbit closure of such a sequence in ZNp, we describe how this shift is a letter-to-letter coding of a shift generated by a constant-length substitution defined on an uncountable alphabet. 1

研究の動機と目的

• 非可算アルファベットにおける置換シフトのための力学系フレームワークを、p-整数列を用いて構築すること。
• すべての α ≥ 0 に対して、p^α を法として p-自動的系列に射影する p-整数列の特徴を特定すること。
• そのような列のシフト軌道閉包を空間 Z^N_p 内で分析し、記号的力学と関連付けること。
• このような閉包が、非可算アルファベット上の定長置換の文字列ごとの符号化として生じることを示すこと。
• p-整数構成を用いて、代数的およびコycle列を共通の力学的枠組みに統合すること。

提案手法

• すべての α ≥ 0 に対して、p^α を法として p-自動的系列に射影する p-整数列を用いる。
• そのような列のシフト軌道閉包を、コンパクト空間 Z^N_p 内で分析する。
• 定長置換の理論を応用して、無限アルファベット力学系を構築する。
• 非可算アルファベット上の置換シフトから、p-整数列の軌道閉包への文字列ごとの符号化写像を確立する。
• p-自動的系列の性質とその射影極限を用いて、軌道閉包の位相的構造を記述する。
• p-整数の位相と記号的力学を用いて、Z^N_p の力学と置換系との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、p-整数列を用いて無限アルファベットにおける置換シフトを体系的に構成できるか？
• RQ2 p-整数列の系列が、すべての α ≥ 0 に対して p^α を法として p-自動的系列に射影するための条件は何か？
• RQ3 そのような列のシフト軌道閉包が、非可算アルファベット上の定長置換とどのように関係しているか？
• RQ4 代数的およびコycle列は、p-整数射影の下でこの力学的枠組みにどのように適合するか？
• RQ5 Z^N_p における軌道閉包と置換シフトの符号化との間の構造的関係は何か？

主な発見

• すべての α ≥ 0 に対して p^α を法として p-自動的系列に射影する p-整数列には、代数的系列と特定のコycle系列が含まれる。
• Z^N_p におけるそのような列のシフト軌道閉包は、特定の記号的構造を持つ極小力学系である。
• この軌道閉包が、非可算アルファベット上で定義された定長置換シフトの文字列ごとの符号化であることが示された。
• この構成により、明確な p-整数的起源を持つ新しいクラスの無限アルファベット置換シフトが得られた。
• このフレームワークにより、これまで別個のものとされてきた系列のクラス—代数的およびコycle系列—が、共通の力学的および p-整数的形式的枠組みに統合された。
• 軌道閉包上の力学系は、下位の p-自動的構造の性質を引き継ぎ、無限アルファベット系のより深い解析を可能にする。