[論文レビュー] Substitutions over infinite alphabet generating (-\beta)-integers

Dombek, Daniel|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意の β > 1 および l ∈ (−1, 0] に対して、(−β)-整数（有限な (−β)-展開を持つ数）の集合を、無限のアルファベット上の無限語として符号化する組合せ的枠組みを導入する。この語が、自己相似性と許容性基準から得られる、非消去的かつ恒等写像でない反自己同型写像の固定点であることが示される。主な貢献は、任意の β > 1 に対して、このような自己同型写像を一般化して構成することであり、先行研究をより広いクラスの (−β)-展開（任意の l ∈ (−1, 0]）に拡張する。

ABSTRACT

This contribution is devoted to the study of positional numeration systems with negative base introduced by Ito and Sadahiro in 2009, called (-\beta)-expansions. We give an admissibility criterion for more general case of (-\beta)-expansions and discuss the properties of the set of (-\beta)-integers. We give a description of distances within this set and show that this set can be coded by an infinite word over an infinite alphabet, which is a fixed point of a non-erasing non-trivial morphism.

研究の動機と目的

• 任意の l ∈ (−1, 0] を用いた一般化された (−β)-展開を用いて、(−β)-整数の集合 Z−β を定義し、特徴づけること。
• 参照文字列 d(l) および d*(l+1) を用い、交差辞書順序 ≺alt を用いて、(−β)-展開における桁列の許容性基準を確立すること。
• 参照文字列に基づく再帰的公式を用いて、連続する (−β)-整数間の距離を記述すること。
• 順序付き集合 Z−β を、無限のアルファベット上の無限語として符号化すること。
• 非消去的かつ恒等写像でない反自己同型写像 Φ が存在し、その平方 Ψ = Φ² がこの無限語を固定することを証明すること。

提案手法

• l ∈ (−1, 0] として、区間 [l, l+1) 上で定義される一般化された写像 T(x) = −βx − ⌊−βx − l⌋ を用いて (−β)-展開を定義し、0 が有効な桁として許容されることを保証する。
• 交差辞書順序 ≺alt を用い、参照文字列 d(l) および d*(l+1) を根拠として、無限桁列の許容性を定義する。
• 有限桁列が表す実数値を計算するための値関数 γ を導入する。
• 長さ k の極値許容文字列 min(k) および max(k) を定義し、連続する (−β)-整数間の距離 ∆k の計算に用いる。
• 各位置 n において、zn と zn+1 間のギャップが ∆k に等しいとき、vn = k と定義し、無限語 v−β ∈ NZ を構成する。
• Z−β が −β による乗算に関して自己相似的であることを利用し、Ψ = Φ² が v−β を固定する非消去的かつ恒等写像でない反自己同型写像 Φ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の β > 1 および l ∈ (−1, 0] に対して、(−β)-整数の集合が無限のアルファベット上の無限語として符号化可能か？
• RQ2 Ito-Sadahiro の場合を越えて、(−β)-展開の許容性条件の一般形は何か？
• RQ3 連続する (−β)-整数間の距離は、参照文字列 d(l) および d*(l+1) の構造にどのように依存するか？
• RQ4 Z−β を符号化する無限語を生成する自己同型写像または反自己同型写像は存在するか？ その構造的性質は何か？
• RQ5 無限アルファベットによる符号化を、有限アルファベットに射影可能か？ その場合、自己同型構造は保存されるか？

主な発見

• 集合 Z−β は、各位置 n が連続する (−β)-整数間のギャップサイズ ∆k を符号化する双方向無限語 v−β ∈ NZ として符号化される。
• 語 v−β は、非消去的かつ恒等写像でない反自己同型写像 Φ の平方 Ψ = Φ² によって固定され、Ψ(v−β) = v−β を満たす。
• β ≈ 4.3（x³ − 3x² − 4x − 2 の実根）の場合、反自己同型写像は明示的に Φ(0) = 02102, Φ(1) = 2, Φ(2) = 3, Φ(2k+1) = 0210(2k+2)0102, Φ(2k+2) = 2k+3（k ≥ 1）として与えられる。
• 有限アルファベットへの射影が存在する：ϕ(0) = 02102, ϕ(1) = 2, ϕ(2) = 3, ϕ(3) = 021020102 であり、射影語 u−β = Π(v−β) を固定する。
• 連続する (−β)-整数間の距離 ∆k は明示的に計算可能である：∆₀ = 1, ∆₁ = −1 + 4/β + 2/β², ∆₂ₖ = 1 − 2/β − 2/β², ∆₂ₖ₊₁ = 1 + 2/β + 2/β²（k ≥ 1）。
• min(k) および max(k) の構造は、d(l) および d*(l+1) の周期性に依存し、特定のケース（例：l = −1/2 および β ≈ 4.3）に対して閉形式が導出可能である。