[논문 리뷰] Sum-of-squares lower bounds for planted clique

Raghu Meka, Aaron Potechin외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 22.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 식물 클리크 문제를 해결하는 데 있어 최초의 평균 케이스 하한을 제시한다. 즉, r라운드의 합의 제곱(SOS) 히에라키가 크기가 k인 식물 클리크를 찾을 수 없음을 보여주며, k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r 를 만족해야 한다. 이 결과는 연관 체계 이론과 종속된 랜덤 행렬의 스펙트럼 노름 한계를 이용하여, 높은 확률로 SOS 제약 조건을 만족하는 가짜 기대값 연산자를 구성하는 데 기반한다.

ABSTRACT

Finding cliques in random graphs and the closely related "planted" clique variant, where a clique of size k is planted in a random G(n, 1/2) graph, have been the focus of substantial study in algorithm design. Despite much effort, the best known polynomial-time algorithms only solve the problem for k ~ sqrt(n). In this paper we study the complexity of the planted clique problem under algorithms from the Sum-of-squares hierarchy. We prove the first average case lower bound for this model: for almost all graphs in G(n,1/2), r rounds of the SOS hierarchy cannot find a planted k-clique unless k > n^{1/2r} (up to logarithmic factors). Thus, for any constant number of rounds planted cliques of size n^{o(1)} cannot be found by this powerful class of algorithms. This is shown via an integrability gap for the natural formulation of maximum clique problem on random graphs for SOS and Lasserre hierarchies, which in turn follow from degree lower bounds for the Positivestellensatz proof system. We follow the usual recipe for such proofs. First, we introduce a natural "dual certificate" (also known as a "vector-solution" or "pseudo-expectation") for the given system of polynomial equations representing the problem for every fixed input graph. Then we show that the matrix associated with this dual certificate is PSD (positive semi-definite) with high probability over the choice of the input graph.This requires the use of certain tools. One is the theory of association schemes, and in particular the eigenspaces and eigenvalues of the Johnson scheme. Another is a combinatorial method we develop to compute (via traces) norm bounds for certain random matrices whose entries are highly dependent; we hope this method will be useful elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 식물 클리크 문제를 해결하는 데 있어 합의 제곱(SOS) 히에라키의 평균 케이스 하한을 확립하는 것.
• 상수 라운드의 SOS 알고리즘이 크기가 o(√n)인 식물 클리크를 찾을 수 없음을 보여주어 제곱근 장벽을 뛰어넘는 것.
• 랜덤 G(n,1/2) 그래프에서 SOS 제약 조건을 높은 확률로 만족하는 가짜 기대값 연산자(이중 증명)를 구성하는 것.
• 랜덤 그래프에서 최대 클리크 문제의 자연스러운 SOS 완화에 대한 정수성 갭을 증명하는 것.
• 강한 국소적 의존성을 가진 랜덤 행렬의 스펙트럼 노름을 근사하기 위한 조합 도구를 개발하는 것.

제안 방법

• G(n,1/2) 그래프에서 최대 클리크 문제의 다항식 체계에 대해 가짜 기대값 연산자(이중 증명)를 구성하는 것.
• 스펙트럼 분석을 통해 이중 증명의 관련 행렬이 높은 확률로 양의 준정부호(PSD)임을 증명하는 것.
• 연관 체계 이론의 조합적 구조인 존슨 체계의 고유공간과 고유값을 이용해 행렬의 구조를 분석하는 것.
• 자신만의 조합적 방법(트레이스 기반)을 사용해 강한 국소적 의존성을 가진 랜덤 행렬의 스펙트럼 노름을 근사하는 것.
• 정수성 갭 구성에 의해 SOS 하한을 포지티브스텔렌사츠 증명 체계에서의 차수 하한으로 환원하는 것.
• 집중 부등식(예: McDiarmid의 부등식)을 적용하여 랜덤 이웃에서 클리크 수의 변동을 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 라운드의 합의 제곱 알고리즘이 랜덤 그래프에서 크기가 o(√n)인 식물 클리크를 찾을 수 있는가?
• RQ2 r라운드의 SOS 히에라키가 G(n,1/2,k)에서 식물 k-클리크를 탐지할 수 있는 최소 k는 얼마인가?
• RQ3 랜덤 G(n,1/2) 그래프에서 최대 클리크 문제의 자연스러운 SOS 완화에 정수성 갭이 존재하는가?
• RQ4 연관 체계 이론에서 유도된 스펙트럼 및 조합 도구를 사용해 평균 케이스 문제에 대한 SOS 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ5 식물 클리크 문제에 대한 SOS 히에라키에 대해 가장 날카로운 하한은 무엇이며, 기존 알려진 상한 O(√n)에 비해 얼마나 가까운가?

주요 결과

• 높은 확률로, r라운드의 SOS 히에라키는 k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r 를 만족하지 않는 한 식물 클리크를 찾을 수 없다.
• 랜덤 G(n,1/2) 그래프에서 최대 클리크 문제의 자연스러운 r라운드 SOS 완화는 최소 n^{1/2r} / (C^r (log n)^2)의 정수성 갭을 가진다.
• 증명에서 사용된 이중 증명(가짜 기대값)은 랜덤 그래프 모델에서 높은 확률로 양의 준정부호(PSD)이다.
• 증명는 존슨 체계의 스펙트럼 분석과 국소적으로 의존하는 랜덤 행렬의 노름을 근사하는 새로운 방법에 기반한다.
• 정수성 갭 구성은 심지어 O(log n)라운드의 SOS도 k = (log n)^{O(1)}일 때 식물 클리크 문제를 해결할 수 없음을 시사한다.
• 하한은 로그 인자 수준에서 최적에 가까우며, 알려진 최상의 상한 O(√n / 2^r)와 비교할 때 r = o(log n)일 경우 여전히 갭이 존재한다.