[論文レビュー] Sum-of-Squares Tensors and their Sum-of-Squares Rank

Haibin ChenGuoyin Li, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、二乗和（SOS）テンソルおよびそのSOSランクを調査し、B0テンソル、Hテンソル、正定値Zテンソルの絶対的テンソルなど、さまざまな構造的偶数次対称テンソルのSOS性質を確立する。指数が有界なテンソルに関しては、SOSランクおよびSOS幅のより鋭い上限が得られ、SOSランクが正定値行列の制約下でのランク最小化問題の最適値と関連付けられる。

ABSTRACT

A fundamental and challenging problem in dealing with tensors is to determine its positive semidefiniteness which is known to be an NP-hard problem in general. An important class of tractable positive semi-definite tensors is the sum-of-squares (SOS) tensors. SOS tensors have a close connection with SOS polynomials, which are very important in polynomial theory and polynomial optimization. In this paper, we examine SOS properties of classes of structured tensors, and study the SOS-rank of SOS tensors. We first establish SOS properties of various even order symmetric structured tensors available in the literature. These include weakly diagonally dominated tensors, B0-tensors, double B-tensors, quasi-double B0-tensors, MB0-tensors, H-tensors, and absolute tensors of positive semidefinite Z-tensors. We also examine the SOS-rank for SOS tensors and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the sums-of-squares decomposition for the SOS tensors, and, for a specific SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOSrank for all the tensors in this cone. We first deduce an up bound for general SOS tensors and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for SOS-rank of SOS tensors with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all SOS tensors with bounded exponent. Finally, we also show that the SOS-rank of an SOS tensor is equal to the optimal value of a related rank optimization problem over positive semi-definite matrix constraint.

研究の動機と目的

• 弱い対角優勢、B0、ダブルB、準ダブルB0、MB0、H、正定値Zテンソルの絶対的テンソルを含む、構造的偶数次対称テンソルのSOS性質を同定すること。
• SOSテンソルのSOSランクを定義・分析すること。これは、その分解における平方の最小数を測定する。
• SOSテンソルコーンのSOS幅を導入・計算すること。これは、コーンに属するすべてのテンソルにおける最大SOSランクを表す。
• 指数が有界なテンソルのSOSランクに対して、既存の一般文献の結果を上回るより鋭い上限を確立すること。
• テンソルのSOSランクが、正定値行列制約下でのランク最小化問題の最適値とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 多項式理論における既知の結果を活用し、一般SOSテンソルのSOSランクおよび一般SOSテンソルコーンのSOS幅の上界を導出する。
• 構造的制約を活用することで、指数が有界なSOSテンソルのSOSランクについて、明示的かつ鋭い推定値を提供する。
• 解析的推定技術を用いて、指数が有界なSOSテンソルのすべてのコーンのSOS幅を同定する。
• SOSランクを、正定値行列に制約を課えたランク最小化問題の最適値として定式化する。
• 代数的および凸解析の道具を用いて、SOS分解およびテンソルコーンを分析する。
• SOS多項式に関する既知の結果を応用し、特に構造的クラスにおいて、多項式最適化理論への洞察をテンソル設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの構造的偶数次対称テンソルが、二乗和（SOS）テンソルであることが保証されるか？
• RQ2 指数が有界なSOSテンソルのSOSランクに対する、最も鋭い可能な上限は何か？
• RQ3 特に指数が有界なSOSテンソルコーンに関して、テンソルコーンのSOS幅を明示的に決定するにはどうすればよいか？
• RQ4 テンソルのSOSランクと、正定値行列上でのランク最適化問題との関係は何か？
• RQ5 SOSランクは、制約付き行列最適化問題の最適値として特徴付けられるか？

主な発見

• 弱い対角優勢、B0、ダブルB、準ダブルB0、MB0、Hテンソル、正定値Zテンソルの絶対的テンソルといった、さまざまな構造的テンソルクラスがSOSテンソルであることが証明された。
• 指数が有界なSOSテンソルのSOSランクについて、明示的かつ鋭い上界が導出され、一般文献の結果を上回る。
• 指数が有界なSOSテンソルのすべてのコーンのSOS幅が明示的に特定され、そのコーン内で達成可能な最大SOSランクを表している。
• 任意のSOSテンソルのSOSランクは、正定値行列制約下でのランク最小化問題の最適値に等しい。
• SOSランクおよびSOS幅の概念が、多項式最適化理論と正式に関連づけられ、SOS多項式からの結果がテンソルへと拡張された。
• 既知の多項式理論の結果を用いて、SOSランクおよびSOS幅の理論的上限が確立され、今後のアルゴリズム的開発の基盤が提供された。