[論文レビュー] Summation Identities Involving Padovan and Perrin Numbers

Kunle Adegoke|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性多項式 $x^3 - x - 1$ の根の代数的性質を用いて、Padovan 数およびPerrin 数の新しい二項係数および二重二項係数の和公式を導出する。この多項式の零点 $α$, $β$, $γ$ 及びそれらの対称関数を活用し、等差数列の添え字をもつPadovan 数およびPerrin 数の和に関する閉形式の恒等式を確立する。これには行列式に基づく表現や母関数が含まれ、これらの数列に関する既知の代数的枠組みを著しく拡張する。

ABSTRACT

Unlike in the case of Fibonacci and Lucas numbers, there is a paucity of literature dealing with summation identities involving the Padovan and Perrin numbers. In this paper, we derive various summation identities for these numbers, including binomial and double binomial identities. Our results derive from the rich algebraic properties exhibited by the zeros of the characteristic polynomial of the Padovan/Perrin sequence.

研究の動機と目的

• Fibonacci 数列やLucas 数列と比較して、Padovan 数列およびPerrin 数列に関する和の恒等式に関する文献の不足に応えること。
• 特性多項式 $x^3 - x - 1$ の根の代数的構造を活用して、Padovan 数列およびPerrin 数列の閉形式の二項係数および二重二項係数の和の恒等式を導出すること。
• 等差数列の添え字をもつPadovan 数列およびPerrin 数列の和を、行列式および母関数を用いて表現すること。
• 恒等式 $Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$ および $Q_n = 2P_{n-2} + P_{n-5}$ を通じて、Padovan 数列とPerrin 数列の関係を確立すること。
• 根 $α$, $β$, $γ$ の対称関数を活用することで、和の恒等式に関する包括的な代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 特性多項式 $x^3 - x - 1$ の根 $α$, $β$, $γ$ を用い、Vietaの定理を適用して対称恒等式を導出する。
• 補題1を用いて、$\alpha^n$, $\beta^n$, $\gamma^n$ をPadovan 数の線形結合として表現する：$\alpha^n = \alpha^2 P_{n-4} + \alpha P_{n-3} + P_{n-5}$。
• $Q_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$ の恒等式を用い、Perrin 数をPadovan 数と関連づけ、$Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$ を導出する。
• 母関数の技法および行列式の表現を用いて、添え字が等差数列をなすPadovan 数およびPerrin 数の無限級数および有限和を表現する。
• 一般恒等式 (2.53) および (2.54) に特定の $x$ および $y$ の値を代入し、補題5を用いて簡略化することで、二重二項係数の恒等式を導出する。
• 係数 $\frac{n}{n-j}\binom{n-j}{j}$ を含む恒等式を確立し、添え字がずれた数列の再帰的恒等式を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性多項式 $x^3 - x - 1$ の根を用いて、Padovan 数列およびPerrin 数列の二項係数の和の恒等式をどのように導出できるか。
• RQ2 根の対称関数を用いて、Padovan 数列およびPerrin 数列の二重二項係数の恒等式をどのように構築できるか。
• RQ3 等差数列の添え字をもつPadovan 数列およびPerrin 数列の和を、行列式で表現できるか。
• RQ4 添え字が等差数列をなす場合に、Padovan 数列およびPerrin 数列の母関数はどのように得られるか。
• RQ5 恒等式 $Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$ および $Q_n = 2P_{n-2} + P_{n-5}$ は、新しい和の公式の導出をどのように支援するか。

主な発見

• 本稿は、恒等式 $\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^j \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} P_{p+n-3j} = (-1)^n (Q_n P_p - P_{n+p})$ を導出し、二項係数の和をPadovan 数およびPerrin 数に結びつける。
• 二重二項係数の恒等式が確立された：$\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \sum_{k=0}^{n-2j} (-1)^{j+k} \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} \binom{n-2j}{k} Q_p^{n-2j-k} P_{q-pj+pk} = Q_{pn} P_q - P_{pn+q}$。
• 和 $\sum_{j=0}^{n} P_{pj+q}$ は、Padovan 数を含む行列式の比として表現され、分子の行列式には $P_{pn+p+q}-P_q$ 及び関連する項が含まれる。
• 添え字が等差数列をなすPadovan 数の母関数は、行列式の比として与えられる：$\sum_{j=0}^{\infty} P_{pj+q} y^j = \frac{\left| \text{行列：} P_q, -yP_{p-3}, \dots \right|}{\left| \text{行列：} -yP_{p-2}+1, \dots \right|}$。
• 恒等式 $Q_{-n} = \frac{1}{2}(Q_n^2 - Q_{2n})$ が導出され、数列が負の添え字へ拡張された。
• 特定のパラメータセット（例：セット13）に対して、恒等式 $\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} 2^{2n-4j} P_{(m+2)n+p-4j} = P_{(m+7)n+p} + (-1)^n P_{(m-7)n+p}$ が証明され、周期的かつ対称的な振る舞いを示した。